将水注入锥形容器中，其速度为4mmi
，设锥形容器的高为8m，顶口直径为6m，求当水深为5m时，水面上升的速度。
3
设注入水tmi
后，水深为hm，由相似三角形对应边成比例可得水面直径为解：这时水的体积为V
1323π3πhhh3864由于水面高度h随时间t而变化，因而h是t的函数hht3π39π2由此可得水的体积关于时间t的导数为Vt′Vh′ht′h′ht′hht′64643由假设，注水速度为4mmi
9π24×64hht′4即ht′∴Vt′649πh2
用心爱心专心
3hm，4
f∴当h5m时，水面上升的速度为：h′h5例6求下列函数的导数
4×64256mmi
2225π9π5
1
（1）y1x
2
（2）y
x52x43x2x4
512
x4
解：（1）∵y0两边求导得：∴两边取对数得l
y
y′′xxy12x′xx′xx′xxy12x∴y′221x1x12x（2）∵y0
∴两边取对数：l
yl

1l
12x2
x5x4
2
131
x25x42112l
x5l
x45l
x2l
x432y2151在上式两边求导得yx53x4x22x4
整理后得y
x5x4
2
1312

x25x4
2151x53x4x22x4
例7已知曲线yfx与yfxsi
axa≠0，其中fx0，且都为可导函数，求证：两曲线在公共点处相切。证明：证明：设两曲线公共点为（x0y0）则y0fx0，y0fx0si
ax0即fx0fx0si
ax0∴x0∴si
ax01∴ax02kπ
π
2
k∈Z
1π2kπ（k∈Z）a2′对y1fx有y1f′x′对y2fxsi
ax有y2f′xsi
axafxcosax′∵y1xx0f′x0
′y2xx0f′x0si
ax0afx0cosax0f′x0si
2kπ′∴y1xx0y′xx02
π
2
afx0cos2kπ
π
2
f′x0
∴两曲线彼此相切
用心
爱心
专心
f例8设曲线yxx1l
x在x1处的切线为l，数列a
中a11，且点
2
（a
a
1）在l上。（1）求证：数列a
1是等比数列，并求a
；（2）求a
的前
项和S
。（1）证明：由yx2x1l
x得x1时，y3又∵y′x12∴切线方程为y32x1∴a
12a
1即y2x1∵（a
a
1）在切线l上即则a
112a
1
a
112a
1
∴a
1是以a112为首项，2为公比的等比数列
1
∴a
12×2
即a
2r