2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高二年级）年级）
说明：说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。直接将答案写在横线上。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。填空题（）1．已知P是△ABC所在平面上一点，满足PAPB2PC3AB，则△ABP与△ABC的面积之比．为
12
．

2．已知数列a
满足：a12a21a
a
1a
2a
a
1a
2
∈N，则a1a2a2011．4022．
3．已知α∈R，如果集合si
αcos2αcosαsi
2α，则所有符合要求的角α构成的集合为．
αα2kπk∈Z．
4．满足方程x28xsi
xy160（x∈Ry∈02π）的实数对xy的个数为．5．设z是模为2的复数，则z．8．
1的最大值与最小值的和为4．z36．对一切满足xy≤1的实数xy，不等式2x3yy12yx3≤a恒成立，则2
实数a的最小值为
232
．
7．设集合A0123456789如果方程xmx
0（m
∈A）至少有一个根x0∈A，．
2
就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为8．已知关于x的方程xk．范围是
23
．
2kx在区间k1k1上有两个不相等的实根，则实数k的取值2
0k≤1
．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）解答题（，且函数yfx是偶函数9．已知二次函数yfxx2bxc的图象过点（1，13）．（1）求fx的解析式；（2）函数yfx的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由所以二次函数fxx2bxc的对称轴方程为x因为函数yfx是偶函数，解（1）
1
12
12
1，2
f故b1
4分
又因为二次函数fxx2bxc的图象过点（1，13），所以1bc13，故c11因此，fx的解析式为fxxx11
2
8分
2
（2）如果函数yfx的图象上存在符合要求的点，设为Pm
，其中m为正整数，
为自然数，则mm11
，从而4
2m143，即2
2m12
2m143
2222
12分注意到43是质数，2
2m12
2m1，2
2m10，且所以有r