17
设函数
f

x

在
0


上连续，且

0
fxd
x

0，0
fxcosx
dx
0
证明：在0内至少存在两个不同的点12，使f1f20（提
x
Fxfxdx
示：设
0
）
解答
一、单项选择题本大题有4小题每小题4分共16分1、D2、A3、C4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5
e6
　1cosx2c


62x
7283
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9解：方程两边求导
exy1ycoxsyxyy0
fy
x


ee
xx
yy

yx
coscos
xyxy
x0y0，y01
10解：ux7　　7x6dxdu
原式

17

1udu
u1u

17


1u

u
2
du1
1l
u2l
u1c7
1l
x72l
1x7C
7
7
1
11
解：
fxdx
3
0xexdx1
3
0
2xx2dx
0xdex11x12dx
3
0

xex

ex

03

0
cos2

d
　令x

1

si



2
2e314
12解：由f00，知g00。
x
1
fudu
xtu
gxfxtdt0
0
x
x0
x
xfxfudu
gx
0
x2
x0
x
fudu
g0lim0x0
x2
fxAlim
x02x2
x
xfxfudu
limgxlim
x0
x0
0
x2

A
A2

A2，
gx在x
0处连续。
dy2yl
x13解：dxx
y

e
2dxx

e

2x
dx
l

xdx

C

1xl
x1xCx2
3
9
y11C0y1xl
x1x
9
，3
9
四、解答题（本大题10分）
fx
14解：由已知且y20ydxy，
将此方程关于x求导得y2yy
特征方程：r2r20解出特征根：r11r22其通解为yC1exC2e2x
2
1
代入初始条件y0y01，得
C1

3
C23
y2ex1e2x
故所求曲线方程为：3
3
五、解答题（本大题10分）
1
15
解：（1）根据题意，先设切点为

x
0

l

x
0

y，切线方程：

l

x
0

x0
x
x0
1由于切线过原点，解出x0e，从而切线方程为：yex
A1eyeydy1e1
则平面图形面积0
2
（2）三角形绕直线
x

e
一周所得圆锥体体积记为
V1，则V1

13
e2
曲线yl
x与x轴及直线xe所围成的图形绕直线xe一周所得旋转体体积
为V2
1
V2eey2dy
0
D绕直线xe
V旋转一周所得旋转体的r