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受中国数学会委托,2009年全国高中数学联赛由黑龙江省数学会承办。中国数学会普及工作委员会和黑龙江数学会负责命题工作。
2009年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况,以及综合和灵活运用的能力。全卷包括8填空题和3道大题,满分100分。答卷时间为80分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展,适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题,其中一道平面几何题,试卷满分200分。答卷时问为150分钟。
一试
5椭圆
x2a2

y2b2
1
ab0
上任意两点P,Q,若OP
OQ,则乘积OP
OQ的最小值

.来源21世纪教育网
1.若方程lgkx2lgx1仅有一个实根,那么k的取值范围是

2.一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前100个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是(可以用指数表示)
3.某车站每天8∶009∶00,9∶0010∶00都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为
到站时刻
8∶109∶10
8∶309∶30
8∶509∶50
1
1
1
概率
来源21世纪教育网
6
2
3
一旅客8∶20到车站,则它候车时间的数学期望为二、解答题
(精确到分).
f9、(14分)设直线lykxm(其中k,m为整数)与椭圆x2y21交于不同两1612
点A,B,与双曲线x2y21交于不同两点C,D,问是否存在直线l,使得向量412
ACBD0,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.
加试
一、填空(共4小题,每小题50分,共200分)
12、如图,M,N分别为锐角三角形ABC(AB)的外接圆上弧BC、AC的中点.过点C作PC∥MN交圆于P点,I为ABC的内心,连接PI并延长交圆于T.
⑴求证:MPMTNPN;T⑵在弧AB(不含点C)上任取一点Q(Q≠A,T,B),记AQC,△QCB的内心分别为I1,I2,
求证:Q,I1,I2,T四点共圆.
PN
CM
13、求证不等式:
1



k1
k
k2
1


l



12




1
,2,…
I
B
T
A
Q
f14、互素.
设k,l是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数m≥k,使得Ckm与l
2009全国高中数学联赛解答
一、填空r
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