受中国数学会委托，2009年全国高中数学联赛由黑龙江省数学会承办。中国数学会普及工作委员会和黑龙江数学会负责命题工作。
2009年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。全卷包括8填空题和3道大题，满分100分。答卷时间为80分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题，试卷满分200分。答卷时问为150分钟。
一试
5椭圆
x2a2

y2b2
1
ab0
上任意两点P，Q，若OP
OQ，则乘积OP
OQ的最小值
为
．来源21世纪教育网
1．若方程lgkx2lgx1仅有一个实根，那么k的取值范围是
．
2．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）
3．某车站每天8∶009∶00，9∶0010∶00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为
到站时刻
8∶109∶10
8∶309∶30
8∶509∶50
1
1
1
概率
来源21世纪教育网
6
2
3
一旅客8∶20到车站，则它候车时间的数学期望为二、解答题
（精确到分）．
f9、（14分）设直线lykxm（其中k，m为整数）与椭圆x2y21交于不同两1612
点A，B，与双曲线x2y21交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量412
ACBD0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
加试
一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）
12、如图，M，N分别为锐角三角形ABC（AB）的外接圆上弧BC、AC的中点．过点C作PC∥MN交圆于P点，I为ABC的内心，连接PI并延长交圆于T．
⑴求证：MPMTNPN；T⑵在弧AB（不含点C）上任取一点Q（Q≠A，T，B），记AQC，△QCB的内心分别为I1，I2，
求证：Q，I1，I2，T四点共圆．
PN
CM
13、求证不等式：
1



k1
k
k2
1


l


≤
12
，



1
，2，…
I
B
T
A
Q
f14、互素．
设k，l是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m≥k，使得Ckm与l
2009全国高中数学联赛解答
一、填空r