第3讲函数的奇偶性与周期性考纲展示命题探究
考点一函数的奇偶性
奇偶性的定义及图象特点
奇函数
偶函数
如果对于函数fx的定义域内的任意一个x
定义
都有f－x＝－fx，那么函数都有f－x＝fx，那
fx是奇函数
么函数fx是偶函数
图象特点
关于原点对称
关于y轴对称
注意点判断函数的奇偶性时需注意两点
1对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行
判断，同时应注意化简前后的等价性．
2所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具
有奇偶性
1．思维辨析1函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称的．2若函数fx为奇函数，则一定有f0＝03若函数y＝fx＋a是偶函数，则函数y＝fx关于直线x＝a对
f称．4若函数y＝fx＋b是奇函数，则函数y＝fx关于点b0中心对
称．5函数fx＝0，x∈0，＋∞既是奇函数又是偶函数．
6若函数fx＝x－2xx＋a为奇函数，则a＝2

答案1√2×3√4√5×6√
2．已知fx＝ax2＋bx是定义在a－12a上的偶函数，那么a＋b
的值是
A．－13B31
1C2答案B
D．－12
解析由已知得a－1＋2a＝0，得a＝31，又fx为偶函数，f－
1x＝fx，∴b＝0，所以a＋b＝3
3．下列函数为奇函数的是A．y＝2x－21xC．y＝2cosx＋1答案A
B．y＝x3si
xD．y＝x2＋2x
解析由函数奇偶性的定义知，B、C中的函数为偶函数，D中
的函数为非奇非偶函数，只有A中的函数为奇函数，故选A
考法综述判断函数的奇偶性是比较基础的问题，难度不大，常与函数单调性相结合解决求值和求参数问题，也与函数的周期性、图象对称性在同一个题目中出现．主要以选择题和填空题形式出现，属于基础或中档题目．
f命题法判断函数的奇偶性及奇偶性的应用
典例1下列函数为奇函数的是
A．y＝x
B．y＝si
x
C．y＝cosx
D．y＝ex－e－x
2设函数fx，gx的定义域都为R，且fx是奇函数，gx是偶
函数，则下列结论中正确的是
A．fxgx是偶函数
B．fxgx是奇函数
C．fxgx是奇函数
D．fxgx是奇函数
解析1因为函数y＝x的定义域为0，＋∞，不关于原点对
称，所以函数y＝x为非奇非偶函数，排除A；因为y＝si
x为偶函
数，所以排除B；因为y＝cosx为偶函数，所以排除C；因为y＝fx＝ex－e－x，f－x＝e－x－ex＝－ex－e－x＝－fx，所以函数y＝ex－e
－x为奇函数，故选D
2由题意可知f－x＝－fx，g－x＝gx，对于选项A，f－
xg－x＝－fxgx，所以fxgx是奇函数，故r