关注身边的非线形回归问题
在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解。若两个变量不呈线性关系，则不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，我们可以通过变换的方法将其转化为线性回归模型。以下两例，供参考：例1在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y与析出银的光学密
bx
度x由公式yAeb0表示，现测得试验数据如下：050．060．250．310．070．100．380．430．140．200．47xi0．
yi0．100．141．001．120．230．371．191．250．590．791．29
试求y对x的回归方程。分析：该例是一个非线性回归分析问题，由于题目中已给定了要求的曲线为我们只要通过所给的11对样本数据，求出A和b即可确定x与y的yAex类型，相关关系的曲线方程。解析：由题意可知，对于给定的公式yAexb0两边取自然对数，得
l
yl
Ab。x1vl
yal
A，，就有vabu，x
b
b
与线性回归方程对照可以看出，只要取u
这是v对u的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数b和a。题目中所给数据由变量置换u
1，vl
y变为如下所示的数据：x
ui
vi
20．0002．30326320174
16．6671．96623260223
4．0000．00071430528
3．2260．11350000236
14．2861．47021280255
10．0000．994
ui
vi
f可以求得r0998。由于r0998075，可知u与v具有很强的线性相关关系。再求得b014a0548，
05480146u，把u和v置换回来可得l
y0548∴v
0146，x
e∴y
0548
0146x
e0548e

0146x
173e
0146x

0146x
，
173e∴回归曲线方程为y

。
评注：解决本题的思路是通过适当的变量置换把非线性回归方程转化为线性回归方程，然后再套用线性回归分析的解题步骤。例2xy在试验中得到变量y与x的数据如下：0066739400338429003334100027343100225492
由经验知，y与
1之间具有线性相关关系，试求y与x之间的回归曲线方程；当x
x00038时，预测y0的值。
分析：通过换元转化为线性回归问题。解析：令u序号12345合计
1，由题目所给数据可得下表所示的数据‘x
ui
15．025．830．036．644．4151．8
yi
39．442．941．043．149．2215．6
ui2
225665．649001339．561971．365101．56
yi2
1552．361840．4116811857．612420．649352．02
uiyi
5911106．8212301577．462184．486689．76
f计算得b029r