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非线性回归问题
两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型。分析非线性回归问题的具体做法是：
（1）若问题中已给出经验公式，这时可以将变量x进行置换（换元），将变量的非线性关系转化为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决．
（2）若问题中没有给出经验公式，需要我们画出已知数据的散点图，通过与各种已知函数（如指数函数、对数函数、幂函数等）的图象作比较，选择一种与这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，将问题化为线性回归分析问题来解决．
下面举例说明非线性回归分析问题的解法．例1在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式
b
yAex（b0）表示，现测得实验数据如下：
x005
025031007
038043014
006
010
020047
y
014100
010
112
试求y对x的回归方程．
023
037
119
125
059
079
129
b
分析：该例是一个非线性回归分析问题，由于题目中已给定了要求的曲线为yAex
（b0）类型，我们只要通过所给的11对样本数据求出A和b，即可确定x与y的相关关系的曲线方程．
解：由题意可知，对于给定的公式
y

b
Aex（b0）两边取自然对数，得l

y

l

A
b
．
x
与线性回归方程对照可以看出，只要取u1，vl
y，al
A，就有vabu，x
这是v对u的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数b和a．题目中所给数据由变量置换u1，vl
y变为如表所示的数据：x
u200001666740003226142861000026322326714350002128
v23031966001131470099401740223052802360255
可以求得r0998．由于｜r｜09980602，可知u与v具有很强的线性相关关系．
再求得b0146，a0548，
∴v05480146u，把u和v置换回来可得l
y05480146，x
05480146
∴ye
x
e0548
0146
ex
0146
173ex，
0146
∴回归曲线方程为y173ex．
点评：解决本题的思路是通过适当的变量置换把非线性回归方程转化为线性回归方程，
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然后再套用线性回归分析的解题步骤．
例2为了研究某种细菌随时间x变化的繁殖个数，收集数据如下：
天数x
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y
6
12
25
49
95
190
（1）作出这些数据的散点图；
（2）求出y对x的回归方程．
解析：（1）作出散点图如图1所示．
（2）由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线ycebx（c＞0）的周围，则
lr