2012年全国高中数学联赛模拟试题一
（命题人：吴伟朝）第一试
一、
选择题：（每小题6分，共36分）
222
1、方程6×5a＋b＝5c满足c≤20的正整数解abc的个数是（A）1（B）3（C）4（D）52、函数y
x
2
x1
（x∈R，x≠1）的递增区间是（B）x≤0或x≥2（D）x≤1
2或x≥2
（A）x≥2
（C）x≤0
3、过定点P21作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B，使△AOB（O为原点）的面积最小，则l的方程为（A）x＋y－3＝0（B）x＋3y－5＝0（C）2x＋y－5＝0（D）x＋2y－4＝04、若方程cos2x＋3si
2x＝a＋1在0


上有两个不同的实数解x，则参数a的取值2
范围是（A）0≤a＜1（B）－3≤a＜1（C）a＜1（D）0＜a＜15、数列1223334444555556…的第1000项是（A）42（B）45（C）48（D）516、在12345的排列a1a2a3a4a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列的个数是（A）8（B）10（C）14（D）16
二、
填空题：（每小题9分，共54分）
12
1、x表示不大于x的最大整数，则方程
×x＋x＝19x＋99的实数解x
2
是．22、设a1＝1，a
1＝2a
＋
，则通项公式a
＝993、数7被2550除所得的余数是54、在△ABC中，∠A＝，si
B＝，则cosC＝
313
2
．．．
2
5、设k、是实数，使得关于x的方程x－2k＋1x＋k－1＝0的两个根为si
和cos，则的取值范围是．6、数5

24

2

（
∈N）的个位数字是
．
三、
（20分）
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f已知x、y、z都是非负实数，且x＋y＋z＝1．求证：x1－2x1－3x＋y1－2y1－3y＋z1－2z1－3z≥0，并确定等号成立的条件．
四、
（20分）
2
（1）求出所有的实数a，使得关于x的方程x＋a＋2002x＋a＝0的两根皆为整数．322（2）试求出所有的实数a，使得关于x的方程x＋－a＋2a＋2x－2a－2a＝0有三个整数根．
五、
（20分）试求正数r的最大值，使得点集T＝xyx、y∈R，且x＋y－7≤r一定被包含于另一个点集S＝xyx、∈R，y且对任何∈R，都有cos2＋xcos＋y≥0之中．第二试
222
一、（50分）2设a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是复数，且z－a－cz－b＝0．求证：
a
2
baczacb
1的充分必要条件是a－c＋4b≤0．
2
二、（50分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证：（1）AK⊥BC；（2）
AKAPAQ2S△ABCBC
APKBr