2012年全国高中数学联赛模拟试题（8）年全国高中数学联赛模拟试题（）
一试
一、填空题：
2
1求方程x2xsi
xy10的实数解_____________2已知数列a
满足a12a
1
2a
1
∈N，则a2010________4a
6
3两位数ab
a0b0
若满足abba≠1，则称ab为好数，则好数共有_____个。
4两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积．．．
的可能值有_______个。
5若a是12b与12b的等比中项，则
2ab的最大值为a2b
。
6已知抛物线y24x及其上的一点P焦点F1，和A5，2，则PAPF的02
22
最小值为。7有6个相同的红球和5个相同的白球放入一排1至100标号的盒子里，其中红球和白球间隔放置（即从左到右必须1红1白间隔放），并且红球盒子编号与白球标号不同奇偶，则共有_____种放置方案。8设常数k使得方程2x22y25xyxyk0在平面直角坐标系xOy中表示两条相
uuuuuurrPAPB1，则交直线，交点为P若点AB分别在这两条直线上，且uuuuuurrPAPB______
二、解答题：9已知xyz，w∈R，求M
xy2yz3zw的最大值。xy2z2w2
2
f10数列a
定义如下：a1
2a
124a

2
，而数列b
定义为
b
2
1a
∈N
（1）求a
的通项公式（2）证明：b
b
1
∈N（3）证明：b
7
∈N
11已知椭圆
x2y21ab0，其长轴为A1A，P是椭圆上不同于A1A的一个a2b2
动点，直线PAPA1分别与同一条准线l交于MM1准线两点，试证明：以线段MM1为直径的圆经过椭圆外的一个定点。
二试
1、在等腰△ABC中ABACD是边AC的中点E是点D在BC上的投影F是DE的中点证明BF垂直于AE的充要条件是△ABC是正三角形
fA
DHBFEC
G
2、设△ABC的三边分别是abc，且abc3求证：
1349≤a2b2c2abc332
3、设正整数
大于1，它的全部正因数为d1，d2，…，dk，满足1d1d2…dk
。再设Dd1d2＋d2d3＋…＋dk－1dk。i证明：D
2；ii确定所有的
，使得D整除
2。
4、100种颜色对100×100的棋盘进行染色，用使得每一格均被染为其中一种颜色且每种颜
色恰好使用了100次求证：棋盘上存在一行或一列，其中的方格被染为至少10种颜色。
2012年全国高中数学联赛模拟试题（6）年全国高中数学联赛模拟试题（）
第一试一、填空题（每小题8分，共r