构造函数法证明不等式的八种方法
1．利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。2．解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：【题型1】移项法构造函数
【例1】已知函数fxl
x1x，求证：当x1时，恒有11l
x1x。x1
【分析】本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数gxl
x111，从x1
其导数入手即可证明。
【解析】fx11x当1x0时，fx0，即fx在x10上为增函数；当x0
x1
x1
时，fx0，即fx在x0上为减函数，故函数fx的单调递增区间为10，单调递减区
间0，于是函数fx在1上的最大值为fxmaxf00，因此，当x1时，fxf00，即l
x1x0l
x1x（右面得证），现证左面，令gxl
x111，
x1
则gx
1x1
1x12

xx12
，当x10时gx0，当x0时，gx0，即gx在
x10上为减函数，在x0上为增函数，故函数gx在1上的最小值为
gxmi


g0

0
，∴当
x

1时，
gx

g0

0
，即l
x
1

1x1
1
0l
x
1
1
1，综x1
上可知，当x1时，有11l
x1x。x1
【警示启迪】如果fa是函数fx在区间上的最大（小）值，则有fxfa（或fxfa），
那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证。
【题型2】作差法构造函数证明
【例2】已知函数fx1x2l
x求证：在区间1上，函数fx的图象在函数gx2x3的图象
2
3
的下方。
【分析】函数fx的图象在函数gx的图象的下方不等式fxgx问题，即1x2l
x2x3，
2
3
只需证明在区间1上，恒有1x2l
x2x3成立，设Fxgxfxx1，考虑到
2
3
F110，要证不等式转化变为：当x1时，FxF1，这只要证明gx在区间1是增函数6
即可。
【解析】设Fxgxfx，即Fx2x31x2l
x，则Fx2x2x1x12x2x1，
32
x
x
当x1时，Fxx12x2x1，从而Fx在1上为增函数，FxF110，∴当x1
x
6
时gxfx0，即fxgx，故在区间1上，函数fx的图象在函数gx2x3的图象的3
下方。
【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数r