习题五
A组
1．填空题
（1）当方程的个数等于未知数的个数时，Axb有惟一解的充分必要条件是
．
解因为RARAb
是Axb有惟一解的充要条件．故由RA
可得A0．
（2）线性方程组
x1x2a1

x2

x3

a2

x3

x4

a3
x4x1a4
有解的充分必要条件是
．
解对方程组的增广矩阵施行初等行变换
1100a1
BA
b


00
1
100
110
011
a2

a3a4

1100
a1



0
1
1
0
a2
．
00
00
10
10
a4

a1
a3
a2

a3

所以方程组有解的充要条件是RARB，即
a4a3a2a10．
（3）设
阶方阵A的各行元素之和均为零，且RA
1，则线性方程组Ax0的通解为
．
解令
1x1
1
显然x满足方程组，又因为RA
1，所以
RA1，即方程组的基础解系中有一个向量，通解
为
1
f1xk1k11
1
1T，k为任意常数．
（4）设A为
阶方阵，A0，且akj的代数余子式Akj0（其中，1k
；j12
），
则Ax0的通解
．
解因为A0，又Akj0，所以RA
1，并且有
0
ik
ai1Ak1ai2Ak2ai
Ak
A0ik．
所以Ak1Ak2Ak
T是方程组的解，又因为RA
1，可知方程组的通解为
其中c为任意常数．（5）设
xcAk1Ak2Ak
T，
11

a1
a2
A
a12
a22

a1
1
a
12
1
x1
1
a



x2

1
a
2

x


x3


b1，

a
1


x

1
其中，aiajijij12
，则非齐次线性方程组ATxb的解是x
．
解x1000T．
a11x11
（6）设方程

1
a
1


x2



1

有无穷多个解，则
a

．
11ax32
解a2．
2．单项选择题
（1）齐次线性方程组A35x50解的情况是
．
A无解；C必有非零解；答（C）．
B仅有零解；D可能有非零解，也可能没有非零解．
（2）设
元齐次线性方程组的系数矩阵的秩RA
3，且123为此方程组的三个线性无关
的解，则此方程组的基础解系是
．
A12233122；
B122331；
C1222213322；
D214222313．
2
f答（A）．
（3）要使1102T，2011T都是线性方程组Ax0的解，只要A为
．
A211；
2
B

0
01
11
；
1
C

0
01
21
；
答（A）．
011
D

4
2
2

．
011
（4）已知12是Axb的两个不同的解，12是相应的齐次方程组Ax0的基础解系，k1k2
为任意常数，则Axb的通解是
．
A
k1
k2



；
B
k1
k2



；
C
k1

k2








；
答（B）．
D
k1

k2







．
（5）设
阶矩阵A的伴随矩阵A0若1234是非齐次线性方程组r