解三角形
11正弦定理和余弦定理
111正弦定理
【典型题剖析】
考察点1：利用正弦定理解三角形例1
在ABC中，已知ABC123求abc【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式
abcsi
Asi
Bsi
C求解。
ABC123而ABC
ABC632
absi
Asi
Bsi
Csi
si
si
131132
解：
63222
【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。
例2在ABC中，已知c26，C30°，求ab的取值范围。
【点拨】此题可先运用正弦定理将ab表示为某个角的三角函数，然后再求解。
解：∵C30°，c
2
abc6，∴由正弦定理得：si
Asi
Bsi
C
26si
30
∴a226si
Ab226si
B226si
（150°A）
∴ab226si
Asi
150°A2262si
75°cos75°A
226cos75°A2①当75°A0°，即A75°时，ab取得最大值26843；
②∵A180°CB150°B∴A＜150°，∴0°＜A＜150°∴75°＜75°A＜75°，∴cos75°＜cos75°A≤1，
2
262
26
26
∴＞
cos75°
×
4
26
综合①②可得ab的取值范围为26843
考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3
在△ABC中，a2ta
Bb2ta
A，判断三角形ABC的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC的形状。解：由正弦定理变式a2Rsi
Ab2Rsi
B得：
2Rsi
A2si
B2Rsi
B2si
A
cosB
cosA
fsi
AcosAsi
BcosB
即si
2Asi
2B，2A2B或2A2B，
AB或AB2
∴ABC为等腰三角形或直角三角形。
【解题策略】“在△ABC中，由si
2Asi
2B得∠A∠B”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A∠B或∠
A∠B2”的导出过程。
例4
在△ABC中，如果lgalgclgsi
Blg2，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状。
lgsi
Blg2si
B2
解：
2
又∵B为锐角，∴B45°
lgalgclg2得c2
由
a2
si
A2由正弦定理，得si
C2∵A18045C代入上式得：
2si
C2si
135C
2si
135cosCcos135si
C
2cosC2si
C
cosC0C90A45
ABC为等腰直角三角形。
考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式例5
a2b2b2c2c2a20在△ABC中，求证cosAcosBcosBcosCcosCcosA
【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将a2，b2，c2转化为si
2Asi
2Bsi
2C
证明：由正弦定理的变式a2Rsi
Ab2Rsi
B得：
fa2b24R2si
2A4R2si
2B
cosAcosB
cosr