第2课时解三角形和三角形相似
1．2016北京如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN1求证：BM＝MN；2若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．
解：1证明：在△CAD中，∵M，N分别是AC，CD的中点，
1∴MN∥AD，且MN＝2AD
在
Rt△ABC
中，∵M
是
AC
1的中点，∴BM＝2AC
又∵AC＝AD，∴MN＝BM2∵∠BAD＝60°，且AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝30°
由1知BM＝12AC＝AM＝MC
∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°∵MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°∴BN2＝BM2＋MN2
11由1知，MN＝BM＝2AC＝2×2＝1
∴BN＝22．2016白银如图，已知EC∥AB∠EDA＝∠ABF1求证：四边形ABCD为平行四边形；2求证：OA2＝OEOF
证明：1∵EC∥AB，∴∠C＝∠ABF又∵∠EDA＝∠ABF，∴∠C＝∠EDA∴AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形．2∵EC∥AB，∴OOEA＝OODB
又∵AD∥BC，∴OOFA＝OOBD
fOAOF∴OE＝OA，即
OA2＝OEOF
3．2015南充如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠AP＞AM，点A和点B都与点E重合
；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．
1判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？不需说明理由
2如果AM＝1，si
∠DMF＝35，那么AB的长为6．
解：1有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD2设AP＝x，由折叠关系可得BP＝AP＝EP＝x，AB＝DC＝2x，AM＝1由△AMP∽△BPQ，得ABMP＝ABPQ，即BQ＝x2由△AMP∽△CQD，得ACPD＝ACMQ，即CQ＝2AD＝BC＝BQ＋CQ＝x2＋2，MD＝AD－AM＝x2＋2－1＝x2＋1又∵在Rt△FDM中，si
∠DMF＝35，DF＝DC＝2x，∴si
∠DMF＝MDDF＝x22＋x1＝35解得x＝3或x＝13不合题意，舍去．∴AB＝2x＝64．2016唐山路北区模拟如图，在等腰△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是边AC的中点，点E是斜边AB上的动点，将△AED沿DE所在的直线折叠得到△A1DE1当点A1落在边BC含边BC的端点上时，折痕DE的长是多少？2连接A1B，当点E在边AB上移动时，求A1B长的最小值．
解：1∵点D到边BC的距离是DC＝DA＝1，∴点A1落在边BC上时，点A1与点C重合，如备用图所示．此时，DE为AC的垂直平分线，即DE为△ABC的中位线，
1∴DE＝2BC＝12连接BD在Rt△BCD中，BD＝BC2＋CD2＝5由△A1DE≌△ADE，可得A1D＝AD＝1由A1B＋A1D≥BD，得A1B≥BD－A1D＝5－1∴A1B长的最小值是5－15．2015资阳E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF
f1求证：△ADE≌△DCF；2若E是CD的中点，求证r