潮阳一中明光学校文科数学学案
张盛武
一．知识要点
一元二次方程根的分布
二次方程ax2bxc0的根从几何意义上来说就是抛物线yax2bxc与x轴交点的横坐标，所
以研究方程ax2bxc0的实根的情况，可从yax2bxc的图象上进行研究．
若在内研究方程ax2bxc0的实根情况，只需考察函数yax2bxc与x轴交点个数
及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由yax2bxc的系数可判断出x1x2x1x2的符号，从而判断出实根的情况．
若在区间m
内研究二次方程ax2bxc0，则需由二次函数图象与区间关系来确定．
分况布
情
大致图象（
a0
）
得
论
出的
结
大致图象（
a0
）
得出的结论
（不综讨合论结
a论
）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
两个负根即两根都小于0
x10x20
两个正根即两根都大于0
x10x20
一正根一负根即一个根小于0，
一个大于0x10x2
0



b2a

0
f00
0



b2a

0
f00
f00
0


b2a

0
f00
0

b02a
af00
0


b2a

0
f00
0

b02a
af00
f00af00
1
f潮阳一中明光学校文科数学学案
张盛武
表二：（两根与k的大小比较）
分布情况
大致图象（
a0
）
两根都小于k即x1kx2k
k
两根都大于k即x1kx2k
一个根小于k，一个大于k即x1kx2
kk
得出的结论
大致图象（
a0
）
0


b2a

k
fk0
0


b2a

k
fk0
fk0
得
0
出的结论


b2a

k
fk0
综
合结
0
论（不讨论

bk2a
afk0
a
）
0


b2a

k
fk0
0

bk2a
afk0
fk0afk0
2
f潮阳一中明光学校文科数学学案
张盛武
表三：（根在区间上的分布）
分布情
两根都在m
内
两根有且仅有一根在m
内一根在m
内，另一根在pq
况
（图象有两种情况，只画了一种）内，m
pq
大致图象（
a0
）
得出的结论
大致图象（
a0
）
0

fm0f
0
m
b



2a
fmf
0
fm0


ff

0p0
或


ff
mp
ff

q

00

f
q

0
0
得出的

fm0f
0
结论
m
b



2a
综合结论（不讨论
a
）
fmf
0
fm0


ff

0p0
或


ff
mp
ff

q

00

f

q

0
fmf
0
fmf
0
fpfq0
3
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张盛武
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m
外，即在区间两侧x1mx2
，（图形分别
如下）需满足的条件是
（1）a

0
时，


ff
m0
0
；
（2）
a

0
时，

ff
m0
0
对以上的根的分布表中r