因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC又EF平面ABC，且AC平面ABC，所以EF∥平面ABC而EF平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l因为l平面PAC，EF平面PAC，所以直线l∥平面PAC2证明法一综合法如图1，连接BD，由1可知交线l即为直线BD，且l∥AC
f因为AB是⊙O的直径，
图1所以AC⊥BC，于是l⊥BC，已知PC⊥平面ABC，而l平面ABC，所以PC⊥l而PC∩BC＝C，所以l⊥平面PBC连接BE，BF，因为BF平面PBC，所以l⊥BF故∠CBF就是二面角E－l－C的平面角，即∠CBF＝β由→DQ＝12C→P，作DQ∥CP，且DQ＝12CP连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP＝2PF，所以DQ＝PF，从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF＝θ又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF为锐角，故∠BDF为异面直线PQ与EF所成的角，即∠BDF＝α，于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得si
θ＝CDFF，si
α＝BDFF，si
β＝BCFF，从而si
αsi
β＝CBFFBDFF＝CDFF＝si
θ，即si
θ＝si
αsi
β法二向量法如图2，由D→Q＝12→CP，作DQ∥CP，且DQ＝12CP连接PQ，EF，BE，BF，BD，由1可知交线l即为直线BD
f图2
以点C为原点，向量→CA，→CB，→CP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐
标系，设CA＝a，CB＝b，CP＝2c，则有C0，0，0，Aa，0，0，
B0，b，0，P0，0，2c，Qa，b，c，
E12a，0，c，F0，0，c于是F→E＝12a，0，0，
Q→P＝－a，－b，c，B→F＝0，－b，c，
→FEQ→P
a
所以cosα＝→FEQ→P＝
，a2＋b2＋c2
从而si
α＝
1－cos2α＝
b2＋c2a2＋b2＋c2
又取平面ABC的一个法向量为m＝0，0，1，可得
mQ→P
c
si
θ＝m→QP＝a2＋b2＋c2，
设平面BEF的一个法向量为
＝x，y，z，
所以由
FB→→EF＝＝00，，可得12－axb＝y＋0，cz＝0取
＝0，c，b
m

b
于是cosβ＝m
＝b2＋c2，
从而si
β＝
1－cos2β＝
cb2＋c2
b2＋c2
c
c
故si
αsi
β＝a2＋b2＋c2b2＋c2＝a2＋b2＋c2＝si
θ，
即si
θ＝si
αsi
β
fr