因为E,F分别是PA,PC的中点,所以EF∥AC又EF平面ABC,且AC平面ABC,所以EF∥平面ABC而EF平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l因为l平面PAC,EF平面PAC,所以直线l∥平面PAC2证明法一综合法如图1,连接BD,由1可知交线l即为直线BD,且l∥AC
f因为AB是⊙O的直径,
图1所以AC⊥BC,于是l⊥BC,已知PC⊥平面ABC,而l平面ABC,所以PC⊥l而PC∩BC=C,所以l⊥平面PBC连接BE,BF,因为BF平面PBC,所以l⊥BF故∠CBF就是二面角E-l-C的平面角,即∠CBF=β由→DQ=12C→P,作DQ∥CP,且DQ=12CP连接PQ,DF,因为F是CP的中点,CP=2PF,所以DQ=PF,从而四边形DQPF是平行四边形,PQ∥FD连接CD,因为PC⊥平面ABC,所以CD是FD在平面ABC内的射影,故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角,即∠CDF=θ又BD⊥平面PBC,有BD⊥BF,知∠BDF为锐角,故∠BDF为异面直线PQ与EF所成的角,即∠BDF=α,于是在Rt△DCF,Rt△FBD,Rt△BCF中,分别可得si
θ=CDFF,si
α=BDFF,si
β=BCFF,从而si
αsi
β=CBFFBDFF=CDFF=si
θ,即si
θ=si
αsi
β法二向量法如图2,由D→Q=12→CP,作DQ∥CP,且DQ=12CP连接PQ,EF,BE,BF,BD,由1可知交线l即为直线BD
f图2
以点C为原点,向量→CA,→CB,→CP所在直线分别为x、y、z轴,建立如图所示的空间直角坐
标系,设CA=a,CB=b,CP=2c,则有C0,0,0,Aa,0,0,
B0,b,0,P0,0,2c,Qa,b,c,
E12a,0,c,F0,0,c于是F→E=12a,0,0,
Q→P=-a,-b,c,B→F=0,-b,c,
→FEQ→P
a
所以cosα=→FEQ→P=
,a2+b2+c2
从而si
α=
1-cos2α=
b2+c2a2+b2+c2
又取平面ABC的一个法向量为m=0,0,1,可得
mQ→P
c
si
θ=m→QP=a2+b2+c2,
设平面BEF的一个法向量为
=x,y,z,
所以由
FB→→EF==00,,可得12-axb=y+0,cz=0取
=0,c,b
m
b
于是cosβ=m
=b2+c2,
从而si
β=
1-cos2β=
cb2+c2
b2+c2
c
c
故si
αsi
β=a2+b2+c2b2+c2=a2+b2+c2=si
θ,
即si
θ=si
αsi
β
fr