向量
2＝x2，y2，z2，平面A1BC与平面A1CD夹角为θ，
则
11B→A→C1C＝＝00，，得－y1－x1＋z1＝y1＝0，0，取
1＝1，1，1；

22→CA→D1C＝＝00，，得yx22－＝z0，2＝0，取
2＝0，1，1，
从而cosθ＝cos

1，
2
2
6
＝
3×
＝2
3
，
即平面
A1BC
与平面
A1CD
夹角的余弦值为
63
22015天津，17如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB
＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点
f1求证：MN∥平面ABCD；2求二面角D1－AC－B1的正弦值；3设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为13，求线段A1E的长解如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A0，0，0，B0，1，0，C2，0，0，D1，－2，0，
A10，0，2，B10，1，2，C12，0，2，D11，－2，2，又因为M，N分别为B1C和D1D
的中点，得M1，12，1，
N1，－2，1
1证明依题意，可得
＝0，0，1为平面ABCD的一个法向量，→MN＝0，－25，0，由
此可得→MN
＝0，又因为直线MN平面ABCD，所以MN∥平面ABCD
2A→D1＝1，－2，2，→AC＝2，0，0，设

1＝x1，y1，z1为平面
ACD1

1A→D1＝0，的法向量，则
1A→C＝0，
即x1－2y1＋2z1＝0，2x1＝0
不妨设z1＝1，可得
1＝0，1，1
设
2＝x2，y2，z2为平面ACB1的法向量，

2A→B1＝0，则
2A→C＝0，
又A→B1＝0，1，2，得y22x＋2＝2z0，2＝0，不妨设z2＝1，可得
2＝0，－2，1
因此有cos〈
1，
2〉＝
11
22＝－1100，
f于是si
〈
1，
2〉＝31010
所以，二面角D1－AC－B1的正弦值为31010
3依题意，可设A→1E＝λA→1B1，其中λ∈0，1，则E0，λ，2，从而→NE＝－1，λ＋2，
1，又
＝0，0，1为平面ABCD的一个法向量，
由已知，得cos〈N→E，
〉＝N→N→EE

1
1
＝（－1）2＋（λ＋2）2＋12＝3，
整理得λ2＋4λ－3＝0，
又因为λ∈0，1，解得λ＝7－2，所以，线段A1E的长为7－232013湖北，19如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点
1记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；2设1中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足D→Q＝12→CP，记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E－l－C的大小为β，求证：si
θ＝si
αsi
β1解直线l∥平面PAC，证明如下：连接EF，r