【大高考】2017版高考数学一轮总复习第8章立体几何初步第6节空间向量的应用高考AB卷理
空间向量及其应用2016全国Ⅱ，19如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝54，EF交BD于点H将△DEF沿EF折到△D′EF的位置OD′＝10
1证明：D′H⊥平面ABCD；
2求二面角B－D′A－C的正弦值
1证明由已知得AC⊥BD，AD＝CD
又由
AE＝CF
AECF得AD＝CD，故
AC∥EF
因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB2－AO2＝4
由EF∥AC得ODHO＝AAED＝14
所以OH＝1，D′H＝DH＝3
于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH
又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，
所以D′H⊥平面ABCD
2解如图，以H为坐标原点，→HF的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系H－xyz
则H0，0，0，A－3，－1，0，
B0，－5，0，C3，－1，0，D′0，0，3，→AB＝3，－4，0，A→C＝6，0，0，A→D′＝3，1，3
f设m＝x1，y1，z1是平面ABD′的法向量，则mmA→A→BD＝′0＝，0，即33xx11－＋4yy1＋1＝30z，1＝0，所以可取m＝4，3，－5设
＝x2，y2，z2是平面ACD′的法向量，则
A→A→CD＝′0＝，0，即63xx22＝＋0y，2＋3z2＝0，所以可取
＝0，－3，1
于是cos〈m，
〉＝mm
＝
－1450×
10＝－7255
si
〈m，
〉＝22595
因此二面角B－D′A－C的正弦值是22595
空间向量及其应用12015陕西，18如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC＝1，AD＝2，
E是AD的中点，O是AC与BE的交点将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图2
1证明：CD⊥平面A1OC；2若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值
图11证明在图1中，因为AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，∠BAD＝π2，所以BE⊥AC，即在图2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，且A1O∩OC＝O，从而BE⊥平面A1OC，又在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12AD，E为AD中点，所以BCED，
f所以四边形BCDE为平行四边形，故有CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC2解由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
图2又由1知，BE⊥OA1，BE⊥OC，所以∠A1OC为二面角A1－BE－C的平面角，所以∠A1OC＝π2，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，BC∥ED，
所以B22，0，0，E－22，0，0，A10，0，22，
C0，22，0，得→BC＝－22，22，0，A→1C＝0，22，－22，
C→D＝B→E＝－2，0，0，
设平面A1BC的法向量
1＝x1，y1，z1，平面A1CD的法r