极限lim（5
x0
ee
2x
e
e

x
e
x，其中
是给定的正整数ee
x2x
解法1因lim
x0
ee
x
2x
e

x
xlim1
x0
e

x


e
x
Alimelim
ee
x
2x
e
e
x
x

x

ex
2x
x0
ee
x
2x

x
x0
elim
e2e
x

e

x
x0
e
1e
12



12
e
因此lim
x0
ee
x
2x
e
x
e
xe
2x
A
e
x
2
解法2因liml
x0
ee
x
e

e
xelim
x
l
ee
x
2x
ex

x
l

x0
elim
e2eee
x
xe
2x2x

ee
A
x0

x
e
e
12



12
e
故lim
x0
ee
x
2x
e

1
xe
e
2
三、（15分）设函数fx连续，gx并讨论gx在x0处的连续性解由lim
fxx
10
x0

10
fxtdt，lim且
fxx
x0
A，A为常数，gx求
A和函数fx连续知，f0limfxlimxlim
x0x0
fxx
x0
0
因gx

fxtdt，故g0
1x

10
f0dtf00，
因此，当x0时，gx

x0
fudu，故
limgxlim
x0

x
fudu
0
x0
limx
1x
2
fx1
x0
f00
fxx
当x0时，gx

x0
fudu
，
f1g0limgxg0x
1x
2x0
x0
lim
x

x
ftdt
0
x0
limx
lim

x
ftdt
0
x0
x
x
2
lim1x
2
fx2x
x0

A2A2A2
limgxlim
x0

x0
fudu
fxx
fx
x0
lim
x0

x0
fuduA
这表明gx在x0处连续四、（15分）已知平面区域Dxy0x0y，L为D的正向边界，试证：（1）xe
Lsi
y
dyye
si
x
dxxe
L
si
y
dyye
si
x
dx；
（2）xe
L
si
y
dyye
si
y
dx
52

2

证因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知（1）xe
Lsi
y
dyye
si
x
dx

D
xex
si
y

y
ye
si
x
dxdy


D
e
si
y
e
si
x
dxdy
xe
L
si
y
dyye
si
x
dx
si
y


D
xex

y
ye
si
x
dxdy


D
e
si
y
e
si
x
dxdy
而D关于x和y是对称的，即知

D
e
si
y
e
si
x
dxdy
si
y

D
e
si
y
e
si
x
dxdy
因此xe
L
si
y
r