浅谈一道数学例题的“一题多解”
通山一中万小勇
在人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书高一数学上册130页中例4的学习
时，笔者认为可以引导学生深入分析挖掘，用好等差数列前
项和公式及其性质，得到其他
的解法，从而起到“一题多解”的目的。
例4：已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1220，由此可以确定其前

项和的公式吗？
分析一：将已知条件代入等差数列前
项和的公式后，可得到关于a1与d的关系，然
后确定a1与d，从而得到所求前
项和公式
解法一：由题意知S1030，S201220
将它们代入公式S
a1
1d得到2
10a145d310解这个关于a1与d的方程组，得到a14d6
20a1190d1220所以S
4

163
2
2
分析二：∵a
为等差数列，∴S
a1a
2
将条件代入可求得d与a1
解法二：
102
a1

a10


310
①
202
a1

a20


1220
②
②－①×2得a20－a10600
由da20a10得d62010
又由S
a1
1d得2
S1010a145×6310∴a14∴S
4

133
2
2分析三：因为a
为等差数列，所以可设S
A
2B
，求出A，B即可
解法三：设S
A
2B
，将它们代入可得
100A10B310得到A3，B1
400A20B1220
f∴S
3
2
分析四：运用等差数列前
项和公式，S
a1
1d的变形式解题2
解法四：由S
a1
1d2
即S


a1



1

d2
由此可知数列S
也成等差数列

∵S1031031S20122061
1010
2020
∴dS20S106131302010
∴S10
S10
1303130
3010
10
30
1∴S10
300
210
∴S
3
2
分析五：根据性质“已知a
成等差数列，则S
S2
－S
S3
－S2
…Sk
－Sk－1
…k
≥2成等差数列”解题解法五：根据上述性质，知S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，设公差为d，故dS20－S10－S101220－310－310600∴S10
－S10
－1600∴S10
S10S20－S10S30－S20…S10
－S10
－1
310310600310600×2…310600
1310
600123…
1310
600
1
2
300
210
∴S
3
2
教材给出了第一种解法，目的是让学生熟悉公式的用法，这是一种常规解法。解法二是
等差数列前
项和S

a1a
的应用，在本公式中只要知道了
2
a1a
就可求s
，
除此之外，若知道两个有关s
的和，我们还可以去求解公差d与首项a1，进而去求其他的
f量。解法三是等差数列前
项和S
的变式，即凡是能够写成S
A
2B
，则a
必为等差数列
通过求解变量A、B得到S
，方便快捷。解法四利用了等差数列前
项和S
的性质，S
必

是等差数列，于是先去求解
S

，再反求s
，利用该种解法时，一定要注意结构r