035，PBA0252

PAB
PAPBAPAPBA
PAPBA


05035705833050350502512
北方工业大学试卷
第2页
共5页
f2、设随机变量X的概率密度为
1ax1x0fx1x0x10其他
试求1常数a；

2P0X2
3YX21的密度函数
解1由


fxdx1，易得a1
2P0X2

0
2
fxdx1xdx
0
1
12
3先求Y的分布函数
FYyPYyPX21yPX2y1
当y1时，FYy0当1≤y2时，FYyPy1X
y1

y1
y1
fxdx
0
y1
1xdx
y1
0
1xdx2y1y1
当y≥2时，FYy1从而
y10FYy2y1y11y21y2
故Y的密度函数为
111y2fYyFYyy10其他
3、设随机变量X和Y的联合概率分布，是在直线yx和曲线yx2所围封闭区域上的均匀分
布，试求1概率PX05Y06；2随机变量X和Y的概率密度fXx和fYy．3随机变量X关于Yy的条件概率密度fXYxy。解设G是直线yx和曲线yx2所围区域，其面积为
1
Sxx2dx
0
16
北方工业大学试卷第3页共5页
f因此X和Y的联合概率密度为
6，若xyG，fxy0，若xyG．
1所求概率
PX05Y066dxdy6dxdy05；
G0x2
05
x
2当x01时fXx0，对于x01，有

fXx


fxydy6dy6xx2；
x2
x
当y01时fYy0，对于y01，有

fYy


fxydx
6dy6y
y
y
y．
于是，X和Y的概率密度fXx和fYy为
6yy，若y01，6xx2，若x01，fXxfYy0，若x01；0，若y01．
3当0x1时，fXYxy
fxy1fYyyy。
4、设随机变量XY的联合分布律为
XY
2
1
1180
21814
118184a0求：（1）常数a、EX、EY、DX、DY；（2）X与Y的相关系数XY；
（3）判断X与Y的相关性与独立性，并说明理由。解：（1）易得a14
XY的边缘分布为：
X
23811238
Y
112
412
pi
1818
pj
3113115EXxipi21120EYyjpj148888r