的前
项和为S
，若a

1，则S10等于
2
．
13已知数列a
满足a133a
1a
2
则
a
的最小值为

．
14已知菱形ABCD的边长为2，BAD
BElBC，DFmDC若AEAF
120，点EF分别在边BCDC上，1，CECF

2，则lm3
．
三、解答题：1518每小题13分，1920每小题14分，共80分．15甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率
3都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出35
道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙的得分X的分布列和数学期望EX；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．

16已知函数fx2si
2x

26si
xcosx2cosx1xR4
Ⅰ求fx的最小正周期；
Ⅱ求fx在区间0上的最大值和最小值
2
217已知cosxx41024
（Ⅰ）求si
x的值；
（Ⅱ）求si
2x的值3
f18设a
为等比数列，a11，a23．（Ⅰ）求最小的自然数
，使a
2014；（Ⅱ）求和：T2
123a1a2a32
．a2

19设数列a
的前
项和为S
．已知a1a，a
1S
3
，
N．（Ⅰ）设b
S
3
，求数列b
的通项公式；（Ⅱ）若a
1a
，
N，求a的取值范围．
20已知函数fxl
ax
xaa0x
（Ⅰ）求函数fx的单调区间与极值；
11（Ⅱ）求证：对于任意正整数
，均有1231e
l
（e为自然对数的

底数）；（Ⅲ）当a1时，是否存在过点11的直线与函数yfx的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由
f天津南开中学2015届高三理科数学第二次月考试卷参考答案
一、选择题：1A二、填空题：910111213142D3D4A5A6C7C8A

35
6
20
175264
636
56
三、解答题：
解：Ⅰ设乙答题所得分数为X，则X的可能取值为1501530．
PX15PX15
C315；3C1012
PX0
21C5C55；3C1012
2C155C5；3C1012
PX30
C315．3C1012
乙得分的分布列如下：
X
15
0
15
30
155112121212155115EX1501530．121212122（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B
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