交
22
于不同的两点AB，证明AOB的大小为定值
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【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
a233，解得a1c3，（Ⅰ）由题意，得cc3a
222
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y21∴bca2，∴所求双曲线C的方程为x2
2
（Ⅱ）点Px0y0x0y00在圆xy2上，
22
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f圆在点Px0y0处的切线方程为yy0化简得x0xy0y2
x0xx0，y0
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2y21x22222由及x0y02得3x04x4x0x82x00，2xxyy200
2∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0x02，
2222∴3x040，且16x043x0482x00，



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设A、B两点的坐标分别为x1y1x2y2，
24x082x0则x1x22，x1x223x043x04OAOB∵cosAOB，且OAOB
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1OAOBx1x2y1y2x1x222x0x12x0x2，y0x1x21242x0x1x2x0x1x222x0
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222x082x082x08x214202223x042x03x043x04

2282x082x02023x043x04
∴AOB的大小为90
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【解法2】（Ⅰ）同解法1（Ⅱ）点Px0y0x0y00在圆xy2上，
22
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圆在点Px0y0处的切线方程为yy0
x0xx0，y0
2y21x22化简得x0xy0y2由及x0y02得2xxyy200
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f3x
2020
24x24x0x82x0024y28y0x82x00
①②
3x
2∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0x02，
2∴3x040，设A、B两点的坐标分别为x1y1x2y2，
282x02x28，y1y20223x043x04
则x1x2
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∴OAOBx1x2y1y20，∴AOB的大小为90

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22222（∵x0y02且x0y00，∴0x020y02，从而当3x040时，方程①和
方程②的判别式均大于零）
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