初中数学竞赛辅导资料（六）
比较大小
甲内容提要1．比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法。根据不等式的性质：当a－b＞0时，a＞b；当a－b＝0时，ab；当a－b＜0时a＜b。2．通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符号。3．需要讨论的可借助数轴，按零点分区。4．实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到它。即若a是实数，则a2≥0，由此而推出一系列绝对不等式（字母不论取什么值，永远成立的不等式）。诸如a－b2≥0，a21＞0，a2a1a
xx225x，4yy8y
t甲－t乙＝
t乙＝
x4y
∵x＞0，y＞0∴t甲－t乙＞0
5xx3x8y4y8y
答：乙先到达B地例4己知a≠b≠c，求证：a2b2c2＞abbcca证明：a2b2c2－abbcca＝
123＞024
－a2≤0，－（a2a2）＜0当a≠b时，－（a－b）2＜0乙例题例1试比较a3与a的大小解：a3－aaa1a－1a3－a0即a3a以－1，0，1三个零点把全体实数分为4个区间，由负因数的个数决定其符号：当a＜－1时，a1＜0a＜0a－1＜0（3个负因数）∴a3－a＜0即a3＜a当－1＜a＜0时a＜0a－1＜0（2个负因数）∴a3－a＞0即a3＞a当0＜a＜1时，a－1＜0（1个负因数）∴a3－a＜0即a3＜a当a＞1时，没有负因数，∴a3－a＞0即a3＞a综上所述当a0－1，1时，a3a当a＜－1或0＜a＜1时，a3＜a当－1＜a＜0或a＞1时，a3＞a。（试总结符号规律）例2什么数比它的倒数大？
1×2（a2b2c2－abbcca）21＝（2a22b22c2－2ab2bc2ca）21＝［（ab）2bc2ca2］2
∵a≠b≠c，（ab）2＞0，bc2＞0，ca2＞0∴a2b2c2＞abbcca又证：∵a≠b，∴（ab）2＞0a2b2＞2ab1同理b2c2＞2bc2c2a22ca3222123得2a2b2c＞2ab2bc2ca即a2b2c2＞abbcca例5比较3（1＋a2a4）与1aa22的大小解：3（1＋a2a4）－1aa22＝3［（1＋aa2）22a2a22a3］－1aa22＝21aa22－6a1＋aa221＋aa21＋aa23a21＋aa21a2∵1＋aa2＝（
13a2＞0，1a2≥024
∴当a1时，3（1＋a2a4）＝1aa22当a≠1时，3（1＋a2a4）＞1aa22例6解方程
1解：设这个数为x，则当并且只当x－＞0时，x比它的倒数大，x
2x1x24
解得x－1解得x1
1x21x1x1x－＝xxx
－1
0
1
解：以－05和2两个零点分为3个区间当x05时，－2x1－x24当－05≤x2时，（2x1）－（x2）4当x≥2时，（2x1）x－2＝4解得x综上所述原方程有两个解x－1x1
以三个零点－1，0，1把实数分为4个r