若PF＝
56
，
7则CE＝6
第5题图
第6题图
6．2017深圳如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MP
N中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝
f2PF时，AP＝3三、解答题7．2017宿迁如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动点E不与点B，
C重合，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．
1求证：△BDE∽△CEF；2当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC证明：1∵AB＝AC，∴∠B＝∠C∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF，∴△BDE∽△CEF；2∵△BDE∽△CEF，
BEDE∴CF＝EF
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，
CEDE∴CF＝EF
∵∠DEF＝∠B＝∠C，
∴△DEF∽△ECF，
∴∠DFE＝∠EFC，
∴FE平分∠DFC
8．2017毕节如图，在

ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE
＝∠D
f1求证：△ABF∽△BEC；
2若AD＝5，AB＝8，si
D＝45，求AF的长．
1证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC
∵∠AFB＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D，
∴∠AFB＝∠C，
∴△ABF∽△BEC；
2解：∵AE⊥DC，AB∥DC，
∴∠AED＝∠BAE＝90°
在Rt△ADE中，AE＝ADsi
D＝5×45＝4
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
BE＝AE2＋AB2＝42＋82＝45
∵BC＝AD＝5，
由1得△ABF∽△BEC，
∴ABFC＝ABBE，即A5F＝4
8
，5
解得AF＝259．2017天水△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF
＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q1如图1，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；2如图2，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．
f1证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC∵AP＝AQ，∴BP＝CQ∵E是BC的中点，∴BE＝CE
BE＝CE，在△BPE和△CQE中，∠B＝∠C，
BP＝CQ，
∴△BPE≌△CQESAS；2解：连接PQ，如解图所示．
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°，∴∠BEP＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BCPE＝BCEQ∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，
f∴BE2＝18，∴BE＝CE＝32，∴BC＝62
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