高数中的重要定理与公式及其证明（二）
考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。
6）定积分比较定理
如果在区间ab上恒有
f
x

0，则有
b
a
f
xdx

0
推论：如果在区间ab上恒有
f
x

gx
，则有
b
a
f
xdx

b
a
gxdx
；
设M和m是函数fx在区间ab上的最大值与最小值，则有：
b
mbaafxdxMba
【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。
7）定积分中值定理
设函数fx在区间ab上连续，则在积分区间ab上至少存在一点使得下式
成立：
b
afxdxfba
【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。
f8）变上限积分求导定理
如果函数
f
x
在区间ab上连续，则积分上限的函数x

x
a
f
xdx
在ab上
可导，并且它的导数是
xd
x
fxdxfxaxb
dxa
设函数Fxuxftdt，则有Fxfuxuxfvxvx。vx
【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。
9）牛顿莱布尼兹公式
如果函数
f
x
在区间ab上连续，则有ba
f
xdx

FbFa
，其中
Fx
是
fx的原函数。
【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的推论。具体证明过程见教材。
10）费马引理：设函数fx在点x0的某领域Ux0内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的
xUx0，有fx0fx或fx0fx，那么fx00【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是很重要的思想方法。具体证明过程见教材。
11）罗尔定理：如果函数fx满足
（1）在闭区间ab上连续；
（2）在开区间ab上可导
r