ta
MAN∵ta
ABC
MN4。AN3
AC，∴BC6。BC
∵NE∥KC，∴∠PEN∠PKC。又∵∠ENP∠KCP，∴△PNE∽△PCK。∴∵CK：CF2：3，设CK2k，则CF3k。∴
NENP。CKPC
4NE2，NEk。32k3
过N作NT∥EF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形。∴NETFk，∴CTCF－TF3k－kk。∵EF⊥PM，∴∠BFH∠HBF90°∠BPC∠HBF。∴∠BPC∠BFH。∵EF∥NT，∴∠NTC∠BFH∠BPC。
43
43
53
BC2。PCNC15∴ta
NTC2，CTNC。CT223553∴CTk。∴k。∴CK2×3，BKBC－CK3。2322
∴ta
NTCta
BPC∵∠PKC∠DKC∠ABC∠BDK，∠DKE∠ABC，∴∠BDK∠PKC。∴ta
PKC
PC1。∴ta
∠BDK1。KC
过K作KG⊥BD于G。
4，∴设GK4
，则BG3
，GD4
。3321∴BK5
3，∴
。∴BD4
3
7
。55
∵ta
∠BDK1，ta
∠ABC
用心
爱心
专心
3
f∵ABAC2BC210，AQ4，∴BQAB－AQ6。∴DQBQ－BD6－
219。55
【考点】相似形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形。【分析】（1）确定一对全等三角形△AQP≌△MNA，得到ANPQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PCPQ；从而得到PCAN。（2）由已知条件，求出线段KC的长度，从而确定△PKC是等腰直角三角形；然后在△BDK中，解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。26（2012湖北十堰10分）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD∠BAC，OD交⊙O于点E．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求
FG的值．FC
【答案】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA90°。∴∠ABC∠BAC90°。又∵∠CBD∠BAC，∴∠ABC∠CBD90°。∴∠ABD90°。∴OB⊥BD。∴BD为⊙O的切线。（2）证明：如图，连接CE、OC，BE，∵OEED，∠OBD90°，∴BEOEED。∴△OBE为等边三角形。∴∠BOE60°。又∵OD∥AC，∴∠OAC60°。又∵OAOC，∴ACOAOE。∴AC∥OE且ACOE。∴四边形OACE是平行四边形。而OAOE，∴四边形OACE是菱形。
用心
爱心
专心
4
f（3）∵CF⊥AB，∴∠AFC∠OBD90°。又∵OD∥AC，∴∠CAF∠DOB。∴Rt△AFC∽Rt△OBD。∴
FCAFBDAF，即FC。BDOBOB
又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD。
FGAFBDAF，即FG。BDABABFGOB1∴。FCAB2
∴【考点】圆的综合题，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角r