2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题9：几何综合问题
24（2012湖北恩施12分）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CECB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD15，BE10，si
A
5，求⊙O的半径．13
【答案】解：（1）证明：连接OB，∵OBOA，CECB，∴∠A∠OBA，∠CEB∠ABC。又∵CD⊥OA，∴∠A∠AED∠A∠CEB90°。∴∠OBA∠ABC90°。∴OB⊥BC。∴BC是⊙O的切线。（2）连接OF，AF，BF，∵DADO，CD⊥OA，∴△OAF是等边三角形。∴∠AOF60°。∴∠ABF
1∠AOF30°。2
（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CECB，∴EG
1BE5。2
易证Rt△ADE∽Rt△CGE，
用心爱心专心1
f5，13EG5∴CE13。si
ECG513
∴si
∠ECGsi
∠A∴CGCE2EG21325212。又∵CD15，CE13，∴DE2，由Rt△ADE∽Rt△CGE得∴⊙O的半径为2AD
ADDEAD224，即，解得AD。CGGE1255
48。5
【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC90°即可证明BC是⊙O的切线。（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CECB，可求出EG
1BE5，由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求2
出DE2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，从而求出⊙O的半径。25（2012黑龙江哈尔滨10分）已知：在△ABC中，∠ACB900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0MN．（1）如图l，求证：PCAN；（2）如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP2，PC3，CK：CF2：3，求DQ的长．
【答案】解：（1）证明：∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAMANM90°。∴∠PAQ∠MAN∠MAN∠AMN90°，∴∠PAQ∠AMN。∵PQ⊥ABMN⊥AC，∴∠PQA∠ANM90°。∴AQMN。∴△AQP≌△MNA（ASA）。
用心爱心专心2
f∴ANPQ，AMAP。∴∠AMB∠APM。∵∠APM∠BPC∠BPC∠PBC90°，∠AMB∠ABM90°，∴∠ABM∠PBC。∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQPC（角平分线的性质）。∴PCAN。（2）∵NP2PC3，∴由（1）知PCAN3。∴APNC5，AC8。
∴AMAP5。∴AQMNAM2AN24。∵∠PAQ∠AMN，∠ACB∠ANM90°，∴∠ABC∠MAN。∴ta
ABCr