当旋转至图③位置，此时α又为多少度图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比；（3）连接BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC′∠CAC′∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明。
【答案】解：（1）如图②，由题意∠CACα，要使AB∥DC，须∠BAC∠ACD，∴∠BAC30°。∴α∠CAC∠BAC－∠BAC45°－30°15°。
11
f∴α15°时，能使得AB∥DC。（2）易得α45°时，可得图③。此时，若记DC与AC，BC分别交于点E，F，则共有两对相似三角形：△BFC∽△ADC，△CFE∽△ADE。下求△BFC与△ADC的相似比：在图③中，设ABa，则易得AC2a。BC（2－1）a，∴BC：AC（2－1）a：2a1：（22）（2－2）：2。（3）当0°＜α≤45°时，∠DBC′∠CAC′∠BDC值的大小不变，为105。证明如下：当0°＜α≤45°时，总有△EFC存在。∵∠EFC∠BDC∠DBC，∠CACα，∠FEC∠Cα。又∵∠EFC∠FEC∠C180°，∴∠BDC∠DBC∠Cα∠C180°。又∵∠C45°，∠C30°，∴∠DBC∠CAC∠BDC105°。
0
【考点】旋转的性质，平行的判定，相似三角形的判定，勾股定理，三角形内角和外角定理。【分析】（1）由平行的判定定理和三角形的外角性质可得。（2）由相似三角形的判定可得△BFC∽△ADC，△CFE∽△ADE。另：△CFE与△ADE的相似比为：在图③中，设ADb，则易得ACAC3b，ABBCAB3
6b，23362621b1b1b，CFb22222
62
b，BCAC－
BF
3

62
2b

12
f∴CF：AD
12

62
2b：b


62
2：2。

（3）由旋转的性质、三角形内角和外角定理即可求。另解：在图②中，BD分别交AC，AC于点M，N，由于在△AMN中，∠CACα，∠AMN∠CAC∠ANM180°，∴∠BDC∠Cα∠DBC∠C180°。∴∠BDC30°α∠DBC45°180°。∴∠BDCα∠DBC105°。在图③中，α∠CAC45°，易得∠DBC∠BDC60°。也有∠DBC∠CAC∠BDC105°。综上，当0°＜a≤45°时，总有∠DBC∠CAC∠BDC105°。6（2009安徽省10分）如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形）．．．．．．．（1）画出拼成的矩形的简图；（2）求
xy
的值．
【答案】解：（1）画图如下：
（2）由拼图前后的面积相等得：xyyyxy，x2xyy20。即
2
∵y≠0，∴等式两边同除以y得：2
y
2
x
xy
10。
解得：
xy
r