不等式的基本知识
（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：
1对称性：abba
2传递性：abbcac
3加法法则：abacbc；abcdacbd同向可加
4乘法法则：abc0acbc；
abc0acbc
ab0cd0acbd同向同正可乘
5倒数法则：abab011ab
6乘方法则：ab0a
b
N且
1
7开方法则：ab0
a
b
N且
1
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差变形判断符号结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法
一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0a0的解集：
设相应的一元二次方程ax2bxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b24ac，则不等
式的解的各种情况如下表：
0
0
0
二次函数
yax2bxcyax2bxcyax2bxc
yax2bxc
（a0）的图象
一元二次方程
ax2bxc0
a0的根
有两相异实根
x1x2x1x2
有两相等实根
x1

x2


b2a
无实根
ax2bxc0a0的解集
xxx1或xx2
x
x


b2a

R
ax2bxc0a0的解集
xx1xx2


2、简单的一元高次不等式的解法：穿针引线发
标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；
（3）（3）根据曲线显现fx的符号变化规律，写出不等式的解集。如：x1x12x230
3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
fx0fxgx0gx
fxgx

0

fg
xgxx0

0
4、不等式恒成立问题
1
恒成立的条件
ax2bxc0
（1）ab0c0
2a00
2
恒成立的条件
ax2bxc0
f（1）ab0c0
2a00
5、不等式部分成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题
若不等式fxA在区间D上恒成立则等价于在区间D上fxAmi
若不等式fxB在区间D上恒成立则等价于在区间D上fxmaxB
（四）基本不等式abab2
1．若ab∈R则a2b2≥2ab当且仅当_______时取等号
2．如果ab是正数，那么abab当且仅当ab时取