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数学高考综合能力题选讲15
立体几何中的有关证明
100080北京中国人民大学附中题型预测
立体几何中的证明往往与计算结合在一起考查。三垂线定理及其逆定理是重点考查的内容。
梁丽平
范例选讲例1．已知斜三棱柱ABCA’B’C’的底面是C直角三角形，∠C90°，侧棱与底面所成的角为α（0°α90°），B’在底面上的射影D落在BC上。（1）求证：AC⊥面BB’C’C。（2）当α为何值时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。
CAB
A
讲解：（1）∵B’D⊥面ABC，AC面讲解DBABC，∴B’D⊥AC，又AC⊥BC，BC∩B’DD，∴AC⊥面BB’C’C。（2）由三垂线定理知道：要使AB’⊥BC’，需且只需AB’在面BB’C’C内的射影B’C⊥BC’。即四边形BB’C’C为菱形。此时，BCBB’。因为B’D⊥面ABC，所以，∠BBD就是侧棱B’B与底面ABC所成的角。由D恰好落在BC上，且为BC的中点，所以，此时∠BBD60°。即当α60°时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。
已知四棱锥PABCD中，例2．如图：底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中点。（1）求证：平面EDB⊥平面PBC；（2）求二面角BDEC的平面角的正切值。
D
P
E
CB
讲解：（1）要证两个平面互相垂直，讲解
A
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常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC为正三角形，所以，
DE⊥PC，那么我们自然想到：是否有DE⊥面PBC？这样的想法一经产生，证
明它并不是一件困难的事情。∵面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，∴DE在平面ABCD内的射影就是DC。在正方形ABCD中，DC⊥CB，∴DE⊥CB。又PC∩BCC，PCBC面PBC，∴DE⊥面PBC。又DE面EDB，∴平面EDB⊥平面PBC。（2）（1）由的证明可知：DE⊥面PBC。所以，∠BEC就是二面角BDEC的平面角。∵面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，又平面ABCD内的直线CB⊥DC。∴CB⊥面PDC。又PC面PDC，∴CB⊥PC。BC在RtECB中，ta
∠BEC2。CE
点评：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂面同时垂直于二面角的两个半平面。
如图：在四棱锥SABCD中，SA⊥例3．，2ABAD2a，CDa，E为SB的中点。（1）求证：CE平面SAD；（2）当点E到平面SCD的距离为多少时，平面SBC与平面SAD所成的二面角为45°？平r