能力3通过本节的学习使学生体会探究的乐趣认识到世间万物的联系与转化养成用辩证与联系的观点看问题创设问题情境激发学生分析、探求的学习兴趣强化学生的参与意识从而培养学生分析问题、解决问题的能力和善于运用数形结合等数学思想方法的能力重点难点教学重点探索两角差的余弦公式理解其推导过程并会用两角差的公式进行简单的化简、求值等教学难点两角差的余弦公式的探索与证明课时安排1课时教学过程导入新课
1
f23cos30°由此我们猜想能否得22到cos15°cos45°30°这里是不是等于cos45°cos30°呢？教师可让学生验证经
思路1问题导入我们在初中时就知道cos45°
过验证可知我们的猜想是错误的！那么究竟是个什么关系呢cosαβ这时学生急于想知道这究竟是怎么回事由此展开新课我们是利用熟悉的单位圆呢？还是利用刚刚学过的重要工具向量呢？思路2单刀直入直接提出向量的主要作用之一就是解决几何度量问题如长度、夹角的问题教师让学生利用单位圆及向量的数量积的知识并结合课件直接进行差角的余弦公式探究的学习推进新课新知探究提出问题实际教学可按一种思路即可这里按两种思路设计①让学生猜想cosαβ你认为cosαβcosαcosβ对吗？举例验证②回忆前面学过的单位圆上的三角函数线如何用α、β的三角函数来表示cosαβ呢？③回忆向量的数量积的知识及向量方法的作用结合单位圆能找到两个单位向量其夹角是αβ吗？④得到cosαβ公式后它有哪些特征？其中α、β角的取值范围是任意的吗？⑤类比前面学过的诱导公式及同角的基本关系式的应用如何正用、逆用、灵活运用两角差的余弦公式进行求值、化简与证明呢？思路一提出问题后教师大胆放开不要以担心学生找不到方向或花费过多时间为由而包揽一切要让学生充分发挥想象能力自主探究学生很容易想到cosαβcosαcosβ？的问题也会马上由特殊角来验证它的正确性如α60°、β30°则
313而cosαcosβ这一反例足以说明了22cosαβ≠cosαcosβ当然它也不是对任意角α、β都不成立的从而进一步明确了
cosαβcos30°
“恒等”的意义统一对探索目标的认识也为后面以此公式为基础去推导其他和差公式作了准备
图1既然cosαβ≠cosαcosβ那么cosαβ究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题即αβ这个角的余弦问题学生会迁移前面学过的知识与方法很自然地联想到利用单位圆上的三角函数线r