2020年全国高中数学联合竞赛一试B卷
试题参考答案及评分标准〔B卷〕
讲明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．
2．假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．
一、选择题〔此题总分值36分，每题6分〕
1．函数fx54xx2在2上的最小值是2x
A．3
B．2
C．1
D．0
〔B〕
解当x2时，2x0，因此fx144xx212x212x
2x
2x
2x
2，当且仅当12x时上式取等号．而此方程有解x12，因此fx在2
2x上的最小值为2．
2．设A24，Bxx2ax40，假设BA，那么实数a的取值范畴为
〔A〕A．03
B．03
C．12
解因x2ax40有两个实根
x1

a2

4
a24
，x2

a2
4a2，4
故BA等价于x12且x24，即
a
a24
2且a
4a24，
2
4
2
4
解之得0a3．
D．12
3．甲乙两人进行乒乓球竞赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，竞赛进行到有一人比对
方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为2，乙在每局中获胜的概率为1，
3
3
且各局胜负相互独立，那么竞赛停止时已打局数的期望E为
〔C〕
A670243
B27481
C26681
解法一依题意知，的所有可能值为2，4，6
D24181
f设每两局竞赛为一轮，那么该轮终止时竞赛停止的概率为22125．339
假设该轮终止时竞赛还将连续，那么甲、乙在该轮中必是各得一分，现在，该轮竞赛结果对下轮竞赛是否停止没有阻碍．从而有
P25，9
P44520，9981
P64216，981
故E25420616266．9818181
解法二依题意知，的所有可能值为2，4，6
令Ak表示甲在第k局竞赛中获胜，那么Ak表示乙在第k局竞赛中获胜．由独立性与互不相容性得
P

2

PA1A2
PA1A2

59
，
P4PA1A2A3A4PA1A2A3A4PA1A2A3A4PA1A2A3A4223113220，333381
P6PA1A2A3A4PA1A2A3A4PA1A2A3A4PA1A2A3A4
4221216，3381
故E25420616266．9818181
4．假设三个棱长均为整数〔单位：cm〕的正方体的表面积之和为564cm2，那么这三个正
方
体
的
体
积
之
和
为
〔D〕A586cm3C764cm3
B586cm3或564cm3D764cm3或586cm3
解设这三个正方体的棱长分不为abc，那么有6a2b2c2564，a2b2c2r