第九章
§1
定积分
（20学时）定积分概念
教学目的要求：掌握定积分的概念和几何意义，会用定义计算定积分教学重点、难点：重点定积分的定义，用定义计算定积分难点不定积分定义的理解用定义计算定积分学时安排2学时教学方法讲授法教学过程一问题的提出不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题，求不定积分是求导数的逆运算，而定积分则是某种特殊和式的极限，它们之间既有本质的区别，但也有紧密的联系。先看两个实例。1．曲边梯形的面积设函数fx在闭区间ab上连续，且fx0。则由曲线
yfx，直线xa，xb以及x轴所围成的平面图形（如下左图），称为曲边梯形。
下面将讨论该曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形的面积的基础）。在区间ab内任取
1个分点，依次为
ax0x1x2x
1x
b它们将区间ab分割成
个小区间xi1xi，i12
。记为xi，xixi1xi，即
i12
。并用xi表示区间xi1xi的长度，记Tmaxx1x2x
，再用
直线xxi，i12
1把曲边梯形分割成
个小曲边梯形（如上右图）。在每个小区间xi1xi，i12
上任取一点i，i12
，作以fi为高，xi为底的小矩形，其面积为fixi，当分点不断增多，又分割得较细密时，由于fx连续，它在每个小区间xi1xi上的变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积。于是，该曲边梯形面积的近似值为
T0
Sfixi
i1


。从而
Slimfixi
i1
。
2．变力所作的功W
设质点受力F的作用沿x轴由点a移动到点b，并设F处处平行
于x轴（如下图），同上述，有二定积分的定义定义1
WFixi
i1


，而
WlimFixi
T0i1


。
设闭区间ab内有
1个点，依次为
ax0x1x2x
1x
b，将闭区间ab分成
个小区间，记为xixi1xi，i12
，简记为Tx0x1x
，或Tx1x2x
并称为区间ab的一个分割。同时也用
xixixi1，i12
，并记Tmaxxi称为分割T的模。1i

f定义2
设fx是定义在ab上的一个函数，对于ab的一个分割
Tx1x2x
，任取点ixi，i12
，并作和式i1
也与点i的取r