高中数学竞赛函数性质训练题
【能力训练】A级选择题★★1．若a＞0，a≠1，Fx是一奇函数，则GxFx（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数
1是（）a12（D）奇偶性与a有关
x
1
★★2．设fx是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数。已知当x∈2，3时，fxx，则当x∈2，0时，fx的解析式是（）（A）fxx4（C）fx3x1Bfx2xDfx2x1
★★★3．设fx，gx是定义在（∞，∞）上的两个函数，对任意实数x，y满足fx＋yx－y2fxgx若f00，但fx不恒等于0，则（A）fx，gx都是奇函数（B）fx，gx都是偶函数（C）fx是偶函数，gx是奇函数（D）fx是奇函数，gx是偶函数。★★4．奇函数yfx有反函数yf1x，函数yf1x在0，∞上是减函数，则上是（）（A）是增函数（B）是减函数（C）有时是增函数，有时是减函数（D）有时是增函数，有时是减函数，有时是常数函数。★★5．函数yfxa与函数yfax的图象间的关系是（）（A）关于y轴对称（C）关于直线x2a对称填空题（B）关于x轴对称（D）关于直线xa对称
11★★6．函数fx对一切实数x都满足fxfx，并且方程fx0有三个实22根，这三个实根的和是________★★★★7．设奇函数yfx的定义域为R，f12，且对任意x1x2R，都有
fx1x2fx1fx2当x＞0时，fx是增函数，则函数y－f2x在这间3，2上
的最大值是______★★8．定义域是实数域的奇函数fx，对任意实数x都有fxfx2则f2f4f6…f1992f1994_____。★★★★9．设函数fx的定义域为0，∞，且单调递增，满足f21，fxyfxfy（1）证明：f10f10。（2）求f4。（3）若fxfx3≤2，求x的范围。（4）举出一个符合上述要求的函数fx。B级
f★★★10．设函数fx对任一实数x满足f2xf2x，f7xf7x，f00。且求证：fx在30，30上至少有13个零点，且fx是以10为周期的函数。★★★★11．函数f1xsi
x和f2xsi
πx的最小正周期分别为2π和2。证明fxsi
xsi
πx不是周期函数。★★★★12．证明：若函数yfx在R上的图解关于点Aay0和直线xbb＞a皆对称，则fx为周期函数。★★★★13．设f是一个从实数集R映射到自身的函数，并且对任何x∈R均有fx1311≤1，以及fxfxfxfx4267证明：f是周期函数，即存在一个非零实数C，使得对任何x∈R，成立fxCfx参考答案【能力训练】A级★1．B。
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