赛加试（B卷）试题参考答案及评分标准第2页（共5页）
f由题设条件，1≤r1≤25．而25以内有质数9个：2，3，5，7，11，13，17，19，23．将25以内的数分为以下八组：：
A12021222324，A22×32×52×72×11，A322×322×5，A423×3，A52×32，B13571113171923，B23252，B33×53×7，
从而易知
NA1N20N21N22N23N241234515，NA2N2×3×46×424，NA39×218，NA412，NA510，NB13×824，NB25×210，NB39×218，
将以上数相加，共131个．因此解的个数共131．三、（本题满分50分）设ak0，k122008．证明：当且仅当∑ak1时，存在数列x
满足以下条件：
k12008
（）0x0x
x
1，
123；
2008年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）试题参考答案及评分标准第3页（共5页）
f（）limx
存在；
→∞
（）x
x
1∑akx
k∑ak1x
k，
123．
k1k0
2008
2007
证必要性：假设存在x
满足（）（）（iii），，．注意到（）中式子可化为
x
x
1∑akx
kx
k1，
∈N，k12008
其中x00．将上式从第1项加到第
项，并注意到x00得
x
a1x
1x1a2x
2x2a2008x
2008x2008．
由（）可设blimx
，将上式取极限得
→∞
ba1bx1a2bx2a2008bx2008b∑aka1x1a2x2a2008x2008
k12008
b∑ak，
k1
2008
因此∑ak1．
k1
2008
充分性：假设∑ak1．定义多项式函数如下：
k1
2008
fs1∑aksk，s∈01，
k1
2008
则fs在01上是递增函数，且
f010，f11∑ak0．
k1
2008
因此方程fs0在01内有唯一的根ss0，且0s01，即fs00．
k下取数列x
为x
∑s0，
12，则明显地x
满足题设条件（），且k1

kx
∑s0k1


s0s01．1s0
1

因0s01，故lims010，因此limx
lims0s0
→∞
→∞
→∞1s0

s0，即x
的极限存在，满1s0
足（）．
k最后验证x
满足（），因fs00，即∑aks01，从而k12008
2008年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）试题参考答案及评分标准第4页（共5页）
f
k
x
x
1s0∑aks0s0∑aks0k∑akx
kx
k1．k1k1k1
2008
2008
2008
，，．综r