数学奥林匹克高中训练题
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．训练题291si
219971cos21997等于D．Acos1997si
1997Bcos1997si
1997Ccos1997si
1997
Dcos1997si
1997
2．训练题29复数z满足z1R且z22，则这样的复数有D．
z
A1个
B2个
C3个
D4个
3．训练题29已知ab都是正实数．则xyab且xyab是xa且
yb的B．
A充分不必要条件B必要不充分件
C充要件
D既不充分也不必要条件
4．训练题29ab是两个正整数，最小公倍数为465696．则这样的有
序正整数对ab共有D个．
A144
B724
C1008
D1155
5．训练题29方程2x2pxq0的根是si
和cos．则在poq坐标平面上，
点pq的图q形是B．
q
．1
．
2
．o．
．
1
．
2
p
1
A
．1
．
2
．o
．
．
1
．
2p
22
1
B
q
25
．．
o21
．．
12p
C25
q
．．
o21
．．
12p
D
f6．训练题29对一个棱长为1的正方体木块ABCDA1B1C1D1，在过顶点A1的三条棱上分别取点PQR，使A1PA1QA1R．削掉四面体A1PQR后，以截面PQR为底面，在立方体中打一个三棱柱形的洞，使棱柱侧面都平行于体对角线A1C．当洞打穿后，顶点C处被削掉，出口是一个空间多边形．则这个空间多边形共有B条边．
A3
B6
C8
D9
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．训练题29
11111，f
90
200020
1997．则f
被3除的
1999个1
余数是1．
2．训练题29函数fxgx是R上定义的函数，且fx0的解集为
x1x2gx0的解集是空集，则不等式fxgx0的解集是
xx1或x2
．
3．训练题29棱锥SABC的底面是正三角形ABC，侧面SAC垂直于
底面，另两个侧面同底面所成的二面角都是45o，则二面角ASCB的
值是
arcta
7用反三角函数表示．
4．训练题29若2xy1，则函数uy22yx24x的最小值等于
9
．
5
f5．训练题29六个正方形ABCDEF放置如图所
C示，若ABC三个正方形面积之和为S1DEF三个正
E
B
方形面积之和为S2
，则
S1S2

3
．
FDA
6．训练题29已知abc是一个直角三角形三边之
长，且对大于２的自然数
，成立a
b
c
22a2
b2
c2
．则

4
．
三、训练题29本题满分20分棱锥SABC中，
SA4SB7SC9AB5BC6AC8．试求棱锥SABC体积的最大
值．
四、训练题29本题满分20分数列a
适合条件a11a22a33a44a55a6119，当
5时，a
1a1a2a
1，证明a12a22a702a1a2a70．五、训练题29本题满分20分已知fxgx和hx都是关于x的二次r