时,fx0,不符合题意,此时无解.
③当c2-c0,即c0或c1时,
抛物线y=fx开口向上,其对称轴x=2(11-c)必在直线x=1的左边,
因此,fx在1,+∞上是增函数.
所以要使fk0对k∈N恒成立,只需f10即可.
由f1=3c2+c-10,
解得
-1-c6
13或
-1+c6
13
结合c0或c1得c-1+613或c1
综合以上三种情况,c的取值范围为
-∞,-1+613∪1,+∞.
考点三数列综合问题
f例3-12015广东卷数列a
满足:a1+2a2+…+
a
=4-
2+
-21,
∈N
1求a3的值;2求列a
的前
项和T
;3令b1=a1,b
=T
-1+1+12+13+…+1
a
≥2,证明:数列b
的前
项和S
满足S
<2+2l
分析:1通过赋值,分别令
=1,2,3代入已知式子求解.2为求数列a
的前
项和T
,先求数列a
的通项公式a
,可根据已知关系式利用数列的递推思想,先求出
a
,再求解.3先求出数列b
的前
项和S
,然后可构造函数证明.解析:令
=1a1=1;令
=2a1+2a2=2a2=12;令
=3a1+2a2+3a3=4-45a3=142当
≥2时,a1+2a2+3a3+…+
-1a
-1=4-
2+
-12,①a1+2a2+3a3+…+
-1a
-1+
a
=4-
2+
-21,②②-①,得
a
=
2+
-12-
2+
-21=2
-1,∴a
=2
1-1又∵当
=1时,a1=1也适合a
=2
1-1,∴a
=2
1-1
∈N,易证数列a
是等比数列,首项a1=1,公比
fq=12∴数列a
的前
项和T
=a1(11--qq
)=2-2
1-13证明:∵b1=a1=1,∴S1<2+2l
1成立.又∵b2=a21+1+12a2,b3=a1+3a2+1+12+13a3,…,b
=a1+a2+
…+a
-1+1+12+…+1
a
,∴数列b
的前
项和S
=b1+b2+…+b
=1+12+…+1
a1+1+12+…+1
a2+…+1+21+…+1
a
=1+12+…+1
a1+a2+…+a
=1+12+…+1
2-2
1-1<21+12+…+1
,构造函数hx=l
1x-1x+1,x>0,h′x=1-x2x,令h′x>0,解得0<x<1;令h′x<0,解得x>1,∴hx=l
1x-1x+1,x>0在0,1上单调递增,在1,+∞上单
调递减,∴hx≤h1=0,∴l
1x-1x+1≤0,x>0仅当x=1时取等号,即l
x≥1-1x
f又∵l
=
l
-1
+l
--12+
…+
l
2>1-
-
1+1-
--21
+…+1-12=12+13+…+1
,
∴21+21+…+1
<2+2l
,
∴S
<2+2l
例3-2数列a
∈N中,a1=a,a
+1是函数f
x=13x3-213a
+
2x2+3
r