示出来
跟踪训练1若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是
Ae1－e2，e2－e1
B2e1－e2，e1－12e2
C2e2－3e1，6e1－4e2答案D
De1＋e2，e1－e2
解析选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－e2－e1，则e1－e2，e2－e1为共线向量；选项B中，2e1－e2＝2e1－12e2，也为共线向量；选项C中，6e1－4e2＝－22e2－3e1，
为共线向量根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合
类型二向量的夹角
例2已知a＝b＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹
角是β，求α＋β
解如图，作→OA＝a，O→B＝b，且∠AOB＝60°，

f
以OA、OB为邻边作OACB，则O→C＝a＋b，B→A＝O→A－O→B＝a－b，→BC＝→OA＝a因为a＝b＝2，所以△OAB为正三角形，所以∠OAB＝60°＝∠ABC，即a－b与a的夹角β＝60°因为a＝b，所以平行四边形OACB为菱形，所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°，即a＋b与a的夹角α＝30°，所以α＋β＝90°反思与感悟1求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出2特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2bλ1、λ2是非零常数的夹角为θ0，当λ1λ20时，θ0＝180°－θ；当λ1λ20时，θ0＝θ跟踪训练2已知A，B，C为圆O上的三点，若A→O＝12→AB＋→AC，则A→B与A→C的夹角为________答案90°解析由→AO＝12A→B＋A→C知，O，B，C三点共线，且O是线段BC的中点，故线段BC是圆O的直径，从而∠BAC＝90°，因此→AB与→AC的夹角为90°
类型三平面向量基本定理的应用例3如图所示，在ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若A→B＝a，→AD＝b，试以a，b为基底表示D→E，B→F
解∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，

f
∴A→D＝B→C＝2→BE，→BA＝→CD＝2→CF，∴B→E＝12→AD＝12b，C→F＝12→BA＝－12A→B＝－12a∴D→E＝D→A＋A→B＋B→E＝－→AD＋→AB＋→BE＝－b＋a＋12b＝a－12b，→BF＝→BC＋→CF＝→AD＋→CF＝b－12a引申探究若本例中其他条件不变，设→DE＝a，B→F＝b，试以a，b为基底表示→AB，→AD解取CF的中点G，连接EG∵E、G分别为BC，CF的中点，∴E→G＝12→BF＝12b，∴D→G＝D→E＋E→G＝a＋12b又∵→DG＝34D→C＝34A→B，∴A→B＝43→DG＝43a＋12b＝43a＋23b又∵→AD＝→BC＝→BF＋→FC＝→BF＋12D→C＝B→F＋12A→B，∴A→D＝B→C＝b＋1243a＋23b＝23a＋43b反思与感悟将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的r