传染病问题中的SIR模型
摘要：2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期
以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。
不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。在这里我采用SIR（Susceptibles，I
fectives，Recovered）模型来研究如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，它主要沿用由Kermack与McKe
drick在1927年采用动力学方法建立的模型。应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据维护人类健康与社会经济发展。
关键字：传染病；动力学；SIR模型。
一模型假设
1在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数Nt不变，人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类：易感染者Susceptibles，其数量比例记为st，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者I
fectives，其数量比例记为it，表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者Recovered，其数量比例记为rt，表示t时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。）占总人数的比例。
2病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σλ／μ。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。
二模型构成
在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：
sλsiiμir在假设1中显然有：
stitrt1对于病愈免疫的移出者的数量应为
NdrNidt
（1）（2）
f不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为s0（s0＞0），i0（i0＞0），
r00
SIR基础模型用微分方程组表示如下：

didt

si

i

dsdt

si

drdt

i
（3）
st，it的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计st，it的一般变化规律。
三数值计算
在方程r