高一年级
数学
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第11课
正切函数的图像和性质
【教学目标】（1）掌握正切函数的图象和性质；（2）掌握正切函数的图象是中心对称图形等重要的题型、考点、易错点。【教学重难点】掌握正切函数的图象和性质、题型。【学法与考点】我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。
【知识梳理】
＋kπk∈Z，那么，角α的终边与单位圆2bb交于点P（a，b），唯一确定比值根据函数定义，比值是角α的函数，我们把它叫作角aaα的正切函数，记作y＝ta
α，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z2si
比较正、余弦和正切的定义，不难看出：ta
α＝α∈R，α≠＋kπ，k∈Zcos2
在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。
1．正切函数的定义：
【正切线的简介】下面，我们给出正切函数值的一种几何表示如右图，单位圆与x轴正半轴的交点为A（10），任意角α的终边与单位圆交于点P，过点A（10）作x轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T点。从图中可以看出：当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方；当角α位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方。210Poy30TAx
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分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两个相似三角形，使得角α的正切值与有向线段AT的值相等。因此，我们称有向线段AT为角α的正切线。2．正切函数的图象：（1）首先考虑定义域：xk

2
kz
（2）为了研究方便，再考虑一下它的周期：
ta
x
si
xsi
xta
xxR且xkkzcosxcosx2
∴yta
xxR且xk

kz的周期为T（最小正周期）2
（3）因此我们可选择
的区间作出它的图象。22
y


2
O
2
x
根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数yta
x且x
xR，

2
kr