湘教版数学八年级下册
2．52矩形的判定
二、合作探究探究点一：有一角是直角的平行四边形是矩形
1．掌握矩形的判定方法；重点2．矩形的判定及性质的综合应用．难点
一、情境导入我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线相等且互相平分；2．四个内角都是直角．这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？
已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．
解析：首先利用等边对等角性质得出∠B＝∠ACB；再根据外角和外角平分线性质得出∠FAE＝∠ACB，进而得到AE∥CD，即可推出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质推出四边形ADCE是平行四边形，即可推出四边形ADCE是矩形．
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证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠FAE＝∠EAC，∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且相等BD，又∵BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．
方法总结：此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活应用平行四边形的判定得出四边形AEDB、四边形ADCE是平行四边形是解题的关键．
探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形
再延长OC至M，使CM＝AN求证：四边形NDMB为矩形．解析：首先由平行四边形ABCD可得
OA＝OC、OB＝OD；若ON＝OB，那么ON＝OD；而CM＝AN，即ON＝OM，由此可证得四边形NDMB的对角线相等且互相平分，即可得证．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝OC，OD＝OB，∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OD＝OB，∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD，∴平行四边形NDMB为矩形．
方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分．
探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．
如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，
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