用数量积解题易错点分析
平面向量的数量积是高中数学的重要概念之一在学习这一内容时，受实数运算性质的影响，容易产生思维定势，如果进行简单的类比，则会产生知识上的负迁移下面剖析几例加以说明1．忽视向量夹角的范围致错例1若两向量e1，e2满足e12，e21，e1，e2的夹角为60，若向量2te17e2与向
量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．错解：设向量2te17e2与向量e1te2的夹角为，由为钝角，知cos0，故
t70e27te222t215（2te17e2）（e1te2）＝2te122t27e1，解得
17t．2分析：本题忘了排除cos1，即排除两向量反向时t的值．
正解：由上面可知，7t2te17e2k（e1te2）（k0），
14，2tk，14t从而解得时，两向量夹角为π．2即当t27tk，k14
1，再设向量2te17e2与向量e1te2反向，则2
14141．，t的取值范围是7，222
2．乱用实数的运算性质致错例2
BD2AB4AD4，求DAB的度数．已知平行四边形ABCD中，AC2
错解：设ABa，ADb，则ACab，BDba，
BD2ab2由AC2ba2b2a22a4b42ab2a4b4AB4AD4，
b0，DAB90．故a
分析：一般来说，对于向量m，
，m
2m2
2，事实上，
2m2
2．m
2m
cos2≤m2
2，而上述解答两次运用了等式m
22
正解：
AC2BD2ab2ba2a2b22aba2b22aba2b224ab2
a4b42a2b24ab2a4b4AB4AD4．
ab12ab4ab，则，ab2
222
2
fcosDAB
ab2．ab2
故DAB为45或135．例3已知a，b都是非零向量，且向量a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角．7a5b0，错解：由题意可得a3ba4b7a2b0，①②
b23b2，③将①，②式展开并相减，得46a1因b0，故ab，④2
12bab11将ab代入②，得a2b2，则ab，设a与b夹角为，cos22，ab22b
0≤≤180，故60．分析：上面解法从表面上看结果是正确的，但认真分析就会发现，上面解法中r