空间几何体的表面积和体积
一．课标要求：
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。
二．命题走向
近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。
三．要点精讲
1．多面体的面积和体积公式
名称
侧面积S侧
全面积S全
体积V
棱柱
直截面周长×l
棱
柱
直棱柱
ch
S侧2S底
S底hS直截面hS底h
棱锥
各侧面积之和
棱
锥正棱锥
1ch′
2
S侧S底
1S底h
3
棱台
棱台正棱台
各侧面面积之和
1cc′h′S侧S上底S下底
2
1hS上底S下底
3
S下底S下底
表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
S侧
2πrl
πrl
πr1r2l
S全
2πrlr
πrlr
πr1r2lπr21r22
4πR2
Vπr2h即πr2l
1πr2h3
1πhr21r1r2r223
4πR33
表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。
四．典例解析
题型1：柱体的体积和表面积
例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长
解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm
f依题意得：
2xyyz4xy
z
zx24
20
12
由（2）2得：x2y2z22xy2yz2xz36（3）由（3）－（1）得x2y2z216即l216所以l4cm。
点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。
例2．如图1所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知AB5，AD4，AA13，
AB⊥AD，∠A1AB∠A1AD。3
（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。
图1
图2
解析：（1）如图2，连结A1O，则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON
⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N。由三垂线定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD。∵∠A1AM∠A1AN，
∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1MA1N，
从而OMON。
∴点O在∠BAD的平分线上。
（2）∵AMAA1cos3×13322
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