全国高中数学联赛江苏赛区2006年初赛试题答案
班级__________一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．已知数列a
的通项公式a
A、a1B、a2姓名__________
2，则a
的最大项是________
24
5
C、a3D、a4
解：分母先减后增，以
2为最小值点，所以a2最大，故选B．2．函数y3
log3x
的图像是________
A
B
C
D
x1x解：变式：y3log3x1，故选A．x0x1
3．已知抛物线y22px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得POF是直角三角形，则这样的点P共有________A、0个B、2个C、4个D、6个
解：只须考虑直角的可能情形：由抛物线的光学性质：平行与抛物线对称轴的光线射到抛物线上，反射后必经过抛物线的焦点；这样反射点的切线与法线垂直；因此，旋转可知：OPF不可能是直角；而POF显然不可能是直角，所以只有OFP可能是直角；故选B．4．设fx是定义在R上单调减的奇函数．若x1x20，x2x30，x3x10，则________A、fx1fx2fx30C、fx1fx2fx30B、fx1fx2fx30D、fx1fx2fx3
解：由x1x20x1x2fx1fx2fx1fx2fx1fx20；同理可得：fx2fx30，fx3fx10；三式相加可得：fx1fx2fx30；故选B．
1
f5．过空间一定点P的直线中，与长方体ABCDA1B1C1D1的12条棱所在直线都成等角的直线一共有________A、0条B、1条C、4条D、无数条
解：由于12条棱是由三组棱构成，每组4条互相平行；而这三组恰可由过一顶点P的3条棱代表；过这个顶点P的3条棱，两两互相垂直；又空间一点可以通过平移，看成过这个顶点P的情形；考虑正方体如右图，绿色正方体是题目中的长方体，其余7个正方体是辅助的（因为正方体才会有等角）；与中间3条红棱成等角的直线共有4条，即过点P的大正方体的4条体对角线；故选C．6．在ABC中，ta
A
P
1310，cosB，若ABC的最长边为1，则最短边的长为________102
355
C、
A、
455
B、
255
D、
55
解：构造适合的图形，取AB5k，点D在AB上，CDAB；且有AD2k，BD3k，CDk；于是AB最长，AC最短，AC5k；而AB5k1；
ADBC
15因此，AC5；故选D．55
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．集合Axx3
N0
10，Byyr