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数学归纳法
由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法对于由归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题，通常用数学归纳法来证明它的正确性数学归纳法不是“数学”中使用的归纳法的意思，它是一种严格的推理方法，常常用来证明一类与自然数有关的命题
第一数学归纳法：
先证明当
取第一个值
0（例如
01）时命题成立，然后假设当
kk∈Z且k≥
0时命题成立，证明当
k1时命题也成立（因为证明了这一点，就可以断定这个命题对于
取第一个值后面的所有自然数也成立）这种证明方法叫数学归纳法。
第一数学归纳法可以叙述为：对于关于自然数
的某个命题P
具备下列条件：①P
0真；②
k1时，Pk真Pk1真，那么对于
∈Z，P
真
第二数学归纳法：
如果关于自然数
的某个命题P
具备下列条件：①P
0真；②k∈Z，
k时，P
真Pk真，则对
∈Z，P
真注：第一数学归纳法和第二数学归纳法的区别在于：第一数学归纳法中的k和k1是相继的正整数，而第二数学归纳法中的的
和k不一定是相继的用数学归纳法证明与自然数
有关的问题的一般步骤是：①证明当
取第一个值
0（例如
01或2等）时结论正确；②假设当
kk∈Z且k≥
0时结论正确，证明当
k1时结论也正确由①、②可知，命题对任何
∈Z都成立注：用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的步骤①不是简单的验证，也不一定显然成立，需要严格的证明；步骤②是递推步，需要在假设当
kk∈Z且k≥
0时结论正确的基础上证明当
k1时命题也成立，不是直接证明当
k1时命题成立，更不是简单的递推！
例1已知x1，且x≠0，
∈Z，且
≥2，求证：1x
1
x证明：①当
2时，左边1x212xx2，右边12x，因为x20，所以原不等式成立
②假设当
kk≥2时不等式成立，就是1xk1kx当
k1时，因为x1，所以1x0，于是左边1xk11xk1x1kx1x1k1xkx2，右边1k1x因为kx20，所以左边右边，即1xk11k1x这就是说，原不等式当
k1时也成立根据①、②，原不等式对任何不小于2的正整数都成立
例2数列a
中，a11a
11
求证：
≤a
≤
1a
证明：①当
1时，命题显然成立；
②假设当
k时，命题成立，即有k≤ak≤k1，
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则当
k1时，由k≤ak≤k1，知
ak11k≤1k1k1k1，
ak
k
1≤1≤1
k1ak
k
ak11k≥1k≥1k11放缩≥1k11k11k1
ak
k11k1
1k1
∴kr