课时跟踪检测（五十五）解题上6大技法破解计算繁杂这一难题
1．在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2r＞0交于A，B两点，
O为坐标原点，若圆上一点C满足—O→C＝54—O→A＋34—O→B，则r＝

A．210
B10
C．25
D5
解析：选B已知—O→C＝54—O→A＋34—O→B，
两边平方化简得—O→A—O→B＝－35r2，
所以
cos∠AOB＝－35，所以
∠AOBcos2＝
55，
又圆心O00到直线的距离为2＝2，2
所以r2＝55，解得r＝10
2．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2pxp＞0上任意一点，M是线段PF上的点，且PM＝2MF，则直线OM的斜率的最大值为
3
2
A3
B3
C
22
D．1
解析：选C如图所示，设Px0，y0y0＞0，则y20＝2px0，即x0＝2yp20设Mx′，y′，由—PM→＝2—M→F，
得x′－x0＝22p－x′，y′－y0＝20－y′，
化简可得x′＝p＋3x0，y′＝y30
y0∴直线OM的斜率k＝p＋33x0＝p＋y02yp20
＝2yp022＋py0≤222pp2＝22当且仅当y0＝2p时取等号．故直线OM的
斜率的最大值为
22
f3．2019惠州调研设m，
∈R，若直线l：mx＋
y－1＝0与x轴相交于点A，与y轴
相交于点B，且直线l与圆x2＋y2＝4相交所得的弦长为2，O为坐标原点，则△AOB面积
的最小值为
A．5
B4
C．3
D．2
解析：选C由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d＝1＝3，m2＋
2
所以m2＋
2＝13≥2m
，当且仅当m＝
时等号成立．所以m
≤16，又Am1，0，B0，
1，
所以△AOB的面积S＝2m1
≥3，故△AOB面积的最小值为3
4．2019兰州模拟已知双曲线C：xa22－by22＝1a＞0，b＞0的左、右焦点分别为F1，F2，
点P为双曲线右支上一点，若PF12＝8aPF2，则双曲线C的离心率的取值范围为
A．13
B3，＋∞
C．03
D．03
解析：选A根据双曲线的定义及点P在双曲线的右支上，得PF1－PF2＝2a，设PF1
＝m，PF2＝
，则m－
＝2a，m2＝8a
，∴m2－4m
＋4
2＝0，∴m＝2
，则
＝2a，m＝4a，
依题得F1F2≤PF1＋PF2，∴2c≤4a＋2a，∴e＝ac≤3，又e＞1，∴1＜e≤3，即双曲线C的
离心率的取值范围为13．
5．过抛物线y2＝2pxp＞0的焦点F，斜率为43的直线交抛物线于A，B两点，若—A→F＝
—→λFB
λ＞1，则λ的值为

A．5
B4
4
5
C3
D2
解析：选B根据题意设Ax1，y1，Bx2，y2，
由—A→F＝λ—F→B，得p2－x1，－y1＝λx2－p2，y2，
故－y1＝λy2，即λ＝－yy12
设直线AB的方程为y＝43x－p2，
联立直线与抛物线方程，消去x，得y2－32py－pr