2a2
x2x
a
x
2
称为数域P上的一个
元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。
设x1x2x
；y1y2y
是两组文字，系数在数域P中的一组关系式
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x1c11y1c12y2c1
y

xx32

c21y1c31y1
c22y2c32y2
c2
y
c3
y


x
c
1y2c
2y2c
y

（4）
称为由x1x2x
到y1y2y
的一个线性替换，。如果cij0，那么线性替换（4）就
称为非退化的。在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另
aijaji，ij由于xixjxjxi，所以



aijxixj
i1j1
它的系数排成一个
矩阵它就称为二次型的矩阵。显然它是对称矩阵。
x1
令
X


x2


x

于是二次型可写成fx1x2x
XAX
非退化线性替换可以表示成XCY
三、化二次型为标准形的方法之一：配方法
定理：数域P上任意二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式，即标准形。
证明：下面的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。我们对变量的个数做数学归纳法。对于
1，而二次型就是
已经是平方和的形式了。现假定对
1元二次型，定理的结论成立。再假设
分三种情况来讨论：


fx1x2x

aijxixj（aijaji）
i1j1
1）aii（i1，2，…，
）中是少有一个不为零，例如a110。这时





fx1x2x
a11x12a1jx1xjai1xix1
aijxixj
j2
i2
i2j2




a11x122a1jx1xj
aijxixj
j2
i2j2
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a11x1


a111a1jxj
2

a111



2a1jxj



aijxixj

j2

j2
i2j2
2

a11x1


a111a1jx
j





bijxixj，

j2
i2j2
2



bijxixj

a111



a1jxj




aijxixj
i2j2
j2
i2j2
是一个x2x
的二次型。令
即


这是一个非退化线性替换，它使fx1x2x
a11y12
bijxixj。
i2j2


有归纳法假定，对
bijyiyj有非退化线性替换
i2j2
能使它变成平方和
d
2z
22

d3z32

d


z
2

。
于是非退化的线性替换
就使fx1x2x
变成
f
x1
x2
x



d
2
z
22

d3z32

d


z
2

由归纳法，即证。
2）所有aii都等于0，但至少一a1j0（j1r