平稳）随机信号功率谱估计第九讲（平稳）随机信号功率谱估计
91功率谱估计概述
911功率谱定义
定义1：Pxejω
∞
m∞
∑rme
x
jωm
定义2：PxelimE
M→∞
jω
M1Xejω2∑x
ejω
2limM→∞2M1
M2M1
912功率谱估计的应用
前面讲过的发动机爆振检测、语音建模。
913功率谱估计的研究历史
1）测定潮汐、太阳黑子等的发生周期。周期图：计算傅里叶系数的平方2）用线性回归方程模拟一个时间序列，发现隐含在时间序列中的周期。3）Wie
er精确定义了一个随机过程的自相关函数及功率谱密度。4）经典谱估计的自相关法称为BT法（Blackma
Turkey法）。5）线性预测的理论框架。
914功率谱估计方法的大致分类
92自相关函数的估计
921自相关函数的直接估计自相关函数的直接估计直接
（1）对于广义平稳且各态遍历的随机信号：
定义：rmlim
1N→∞N1N
N1
0
∑x
x
m
0
N1
估计：rm

∑x
x
m

（2）估计性能分析估计偏差biarmErmrm当对信号作矩形窗口，有此数据窗口就产生了加在自相关函数上的三角窗口。

922自相关函数的FFT快速计算
因为rm

1N
∑x
0
N1
N

xN
m
1
f所以
1∑1rmejωmNmN1rmejωmNmN1
N1
mN12N1
0
∑∑x
02N
N1
N1
N

xN
mejωm
∑∑
N1
∑x

ejω

mN1
∑
N1
x2N
mejω
m
1rmejωmX2Nejω2NmN1
N1
93功率谱估计经典基本方法
931直接法
周期图法：基于随机信号x
的N点观察数据xN
，作xN
的傅里叶变换
XNejω，以PPERω
1XNω2，作为功率谱。N
问：为什么以前该方法的计算量过大而无法运用？
932间接法
先由xN
估计出自相关函数rm，然后对rm求傅里叶变换PBTω。



PBTω作为对Pω的估计。
PBTω
mM
∑
M
rmejωmM≤N1
933直接法与间接法估计质量的理论分析
94参数模型功率谱估计
941平稳随机信号的参数模型
参数模型法。由白噪声经过一个线性系统产生具有某种统计规律的平稳随机信号。
x
∑akx
k∑bku
k差分方程表示法
k1k0
p
q
或者x

∑hku
k
k0
∞
冲激响应
u
是一个方差为σ2的白噪声序列，由随机信号通过线性系统的理论，输出序列x
的功率谱。
2
fPxejω
σ2BejωBejω
AejωAejω

σ2Br