2012中考数学压轴题函数平行四边形问题一例1
已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数y3x3的图像与y轴交于点A，4点M在正比例函数y3x的图像上，且MO＝MA．二次函2数y＝x2＋bx＋c的图像经过点A、M．（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上3述二次函数的图像上，点D在一次函数yx3的图像上，且四边形ABCD是菱形，4求点C的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11上海24”，拖动点B在y轴上点A下方运动，四边形ABCD保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上．
思路点拨
1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．
f满分解答
（1）当x＝0时，y3x33，所以点A的坐标为0，3，OA＝3．4如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为3．将2
y3代入y3x，得x＝1．所以点M的坐标为13．因此AM13．2222
c335（2）因为抛物线y＝x2＋bx＋c经过A0，M1，3、所以3解得b2，21bc25c3．所以二次函数的解析式为yx2x3．2
（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E．在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．因此点C的坐标可以表示为4m，3－2m．将点C4m，3－2m代入yx25x3，21得32m16m210m3．解得m或者m＝0（舍去）．2因此点C的坐标为（2，2）．
图2
图3
考点伸展
f如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：如图4，点C的坐标为727．416
图4
例2
f将抛物线c1：y3x23沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值r