抽象函数性质综述
抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接
受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查函数的周期性要紧扣周期函数的定义要注意，函数的周期性只涉及到一个函数函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中
心对称一、基本定义
1、定义1：（周期函数）对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域的每一个值时，都
有fxTfx，那么，函数fx就叫做周期函数非零常数T叫做这个函数的周期
2、定义2：（同一函数图象的对称性）若函数yfx图象上任一点关于点P（或直线l）的对称点仍在
函数yfx的图象上，则称函数yfx的图象关于点P（或直线l）对称
3、定义3：（两个函数图象的对称性）若函数yfx图象上任一点关于点P（或直线l）的对称点在函
数ygx的图象上；反过来，函数ygx图象上任一点关于点P（或直线l）的对称点也在函数
yfx的图象上，则称函数yfx与ygx的图象关于点P（或直线l）对称
二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明
1、若函数yfx的定义域为R，且faxfxb恒成立，则函数yfx是以Tab为周期
的周期函数；
2、若函数yfx的定义域为R，且faxfbx恒成立，则函数yfx的图象关于直线
xab对称；2
3、若函数yfx的定义域为R，且faxfbx恒成立，则函数yfx的图象关于点
ab0对称；2
4、若函数yfx的定义域为R，且faxfxb恒成立，则函数yfx是以T2ab为周期
的周期函数；
5、若函数yfx的定义域为R，则函数yfax与yfbx的图象关于直线xba对称；2
6、若函数yfx的定义域为R，则函数yfax与yfbx的图象关于点ba0对称2
略证：1、fxabfxbafxbbfx，函数yfx是以Tab为周期
的周期函数
2、函数
y
fx图象上的任一点
Px0y0
（满足
fx0
y0
）关于直线
x
ab2
的对称点为
1
fQabx0y0，fabx0fbx0afbbx0fx0y0
点Q仍在函数yfx的图象上，从而函数yfx的图象关于直线xab对称2
3、函数
y
fx图象上的任一点
Px0y0
（满足
fx0
y0
）关于点
ab02
的对称点为
Qabx0y0，far